Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(s) f(x)=\operatorname{sec} ^{2} x-\operatorname{cosec} 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{sec}^{2}x-\csc(2x).
Aqui o conteúdo é derivação de funções trigonométricas compostas, usando regra da cadeia. Vamos precisar de:
  1. A derivada de \operatorname{sec} x:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\tan x.
  1. A derivada de \csc u:
\frac{d}{du}\bigl(\csc u\bigr)=-\csc u\cot u,
e depois aplicar u=2x pela regra da cadeia.

Passo 2

Derivando o primeiro termo \operatorname{sec}^{2}x como uma potência:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr) =2\operatorname{sec} x\;\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr) =2\operatorname{sec} x\;\bigl(\operatorname{sec} x\tan x\bigr) =2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.

Passo 3

Derivando o segundo termo -\csc(2x): seja u=2x. Então
\frac{d}{dx}\bigl(\csc(2x)\bigr) =\frac{d}{du}\bigl(\csc u\bigr)\cdot\frac{du}{dx} =\bigl(-\csc u\cot u\bigr)\cdot2 =-2\csc(2x)\cot(2x).
Como o sinal era negativo em f(x), temos
\frac{d}{dx}\bigl(-\csc(2x)\bigr) =-\bigl(-2\csc(2x)\cot(2x)\bigr) =2\csc(2x)\cot(2x).

Passo 4

Somando as duas parcelas obtidas, a derivada de f fica
f'(x) =2\operatorname{sec}^{2}x\tan x \;+\;2\csc(2x)\cot(2x).

Resposta

f'(x)=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x+2\csc(2x)\cot(2x).

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