Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(t) f(x)=\operatorname{sec} ^{3} x \operatorname{cotg}^{4} 3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sec}^{3}x\;\cot^{4}(3x).
O conteúdo principal envolve a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia aplicada às funções potência e às funções trigonométricas \operatorname{sec} x e \cot u.

Passo 2

Separemos
u(x)=\operatorname{sec}^{3}x \quad\text{e}\quad v(x)=\cot^{4}(3x).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculemos u'(x). Usamos potência e depois a derivada de \operatorname{sec} x:
u'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{3}x\bigr) =3\,\operatorname{sec}^{2}x\;\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) =3\,\operatorname{sec}^{2}x\;(\operatorname{sec} x\tan x) =3\,\operatorname{sec}^{3}x\,\tan x.

Passo 4

Calculemos v'(x). Primeiro veja v(x)=[w(x)]^{4} com w(x)=\cot(3x).
Pela regra da cadeia e da potência,
v'(x) =4\,w^{3}(x)\,w'(x).
E
w'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cot(3x)\bigr) =-\csc^{2}(3x)\,\cdot 3 =-3\,\csc^{2}(3x).
Logo
v'(x) =4\,\cot^{3}(3x)\,(-3\,\csc^{2}(3x)) =-12\,\cot^{3}(3x)\,\csc^{2}(3x).

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+u\,v', obtemos
f'(x) =3\,\operatorname{sec}^{3}x\,\tan x\;\cot^{4}(3x) +\operatorname{sec}^{3}x\;\bigl(-12\,\cot^{3}(3x)\,\csc^{2}(3x)\bigr).

Passo 6

Fatorando \operatorname{sec}^{3}x\,\cot^{3}(3x):
f'(x) =\operatorname{sec}^{3}x\,\cot^{3}(3x)\Bigl[3\,\tan x\,\cot(3x) -12\,\csc^{2}(3x)\Bigr].
Para enxugar, pode-se também escrever
f'(x) =3\,\operatorname{sec}^{3}x\,\cot^{3}(3x)\Bigl[\tan x\,\cot(3x)-4\,\csc^{2}(3x)\Bigr].

Resposta

f'(x) =\operatorname{sec}^{3}x\,\cot^{3}(3x)\Bigl[3\,\tan x\,\cot(3x)-12\,\csc^{2}(3x)\Bigr] \;=\; 3\,\operatorname{sec}^{3}x\,\cot^{3}(3x)\bigl[\tan x\,\cot(3x)-4\,\csc^{2}(3x)\bigr].

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