Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(g) f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+3x+1}.
Estamos tratando de derivadas e vamos usar a regra da cadeia, já que a função é composta: uma raiz de índice 3 aplicada a um polinômio.

Passo 2

Reescrevemos a função como potência para facilitar a derivação:
f(x) = (x^{2}+3x+1)^{\tfrac{1}{3}}.
Chamemos de
u(x) = x^{2}+3x+1,
então
f(x)=u(x)^{\tfrac{1}{3}}
e
u'(x)=2x+3.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de f em relação a x é
f'(x) = \frac{1}{3}\,u(x)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot u'(x) = \frac{1}{3}(x^{2}+3x+1)^{-\tfrac{2}{3}}(2x+3).

Resposta

f'(x)=\frac{2x+3}{3\,(x^{2}+3x+1)^{\tfrac{2}{3}}}.

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