Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(z) f(x)=\operatorname{sec} ^{2} x-\operatorname{tg}^{2} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sec}^{2}x-\tan^{2}x.
O conteúdo principal é derivação de funções trigonométricas usando a regra da cadeia e as fórmulas \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x e \frac{d}{dx}\tan x.

Passo 2

Recordando as derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\,\tan x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x.
Também precisaremos da regra da cadeia para potências.

Passo 3

Vamos derivar \operatorname{sec}^{2}x. Seja u(x)=\operatorname{sec} x, então u'(x)=\operatorname{sec} x\,\tan x e, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(u^{2}\bigr)=2\,u\,u' \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr) =2\,\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\,\tan x) =2\,\operatorname{sec}^{2}x\,\tan x.

Passo 4

Agora derivamos \tan^{2}x. Seja v(x)=\tan x, então v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x e
\frac{d}{dx}\bigl(v^{2}\bigr)=2\,v\,v' \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(\tan^{2}x\bigr) =2\,\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x =2\,\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=\frac{d}{dx}[\operatorname{sec}^{2}x]-\frac{d}{dx}[\tan^{2}x], obtemos
f'(x)=2\,\operatorname{sec}^{2}x\,\tan x \;-\;2\,\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x =0.

Resposta

f'(x)=0

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