Calcule a derivada direcional de f em P na direção do vetor dado
f(x, y, z)=z\left(x^{2}+y\right)^{3}, \quad P=(1,1,2) e v=\frac{\sqrt{3}}{3} i+\frac{\sqrt{3}}{3} j-\frac{\sqrt{3}}{3} k= \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=z\bigl(x^{2}+y\bigr)^{3}, o ponto P=(1,1,2) e o vetor de direção v=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right).
A pergunta é: calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor v.

Passo 2

Definição e estratégia (fórmula que usamos). A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é dada por
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar.
Explicando: o gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z) reúne as derivadas parciais; o produto escalar de \nabla f(P) com o vetor unitário u dá a taxa de variação de f em P na direção de u.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Escrevemos f(x,y,z)=z\cdot g(x,y) com g(x,y)=\bigl(x^{2}+y\bigr)^{3}.
  • Para \partial f/\partial x: derivamos g em relação a x e multiplicamos por z:
\frac{\partial f}{\partial x}=z\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y\bigr)^{3} = z\cdot 3\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y)=2x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=z\cdot 3\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}\cdot 2x =6xz\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}.
  • Para \partial f/\partial y: similar,
\frac{\partial f}{\partial y}=z\cdot 3\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y) = z\cdot 3\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}\cdot 1 =3z\bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}.
  • Para \partial f/\partial z: aqui z aparece como fator multiplicativo simples, então
\frac{\partial f}{\partial z}=\bigl(x^{2}+y\bigr)^{3}.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(1,1,2). Primeiro calcule \bigl(x^{2}+y\bigr) em P:
x^{2}+y=1^{2}+1=2.
Logo \bigl(x^{2}+y\bigr)^{2}=2^{2}=4 e \bigl(x^{2}+y\bigr)^{3}=2^{3}=8. Substituindo nas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(P)=6\cdot 1\cdot 2\cdot 4=48,
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=3\cdot 2\cdot 4=24,
\frac{\partial f}{\partial z}(P)=8.
Portanto
\nabla f(P)=(48,24,8).

Passo 5

Verificar que o vetor de direção fornecido é unitário (se não fosse, teríamos que normalizá-lo). Calcule a norma de v=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right):
\|v\|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}} =\sqrt{3\cdot\frac{3}{9}}=\sqrt{1}=1.
Como a norma é 1, v já é um vetor unitário, podemos tomar u=v.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como o produto escalar \nabla f(P)\cdot v. O produto escalar é
D_{v}f(P)=48\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+24\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+8\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
Somando os coeficientes:
48+24-8=64,
portanto
D_{v}f(P)=64\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{64\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{64\sqrt{3}}{3}

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