Calcule a derivada direcional de f em P na direção do vetor dado f(x, y, z)=z\left(x^{2}+y\right)^{3}, \quad P=(1,1,2) e v=\frac{\sqrt{3}}{3} i+\frac{\sqrt{3}}{3} j-\frac{\sqrt{3}}{3} k= \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y,z)=z\bigl(x^{2}+y\bigr)^{3}, o ponto P=(1,1,2) e o vetor de direção v=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right).
A pergunta é: calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor v.
Passo 2
Definição e estratégia (fórmula que usamos). A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é dada por
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar.
Explicando: o gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z) reúne as derivadas parciais; o produto escalar de \nabla f(P) com o vetor unitário u dá a taxa de variação de f em P na direção de u.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f. Escrevemos f(x,y,z)=z\cdot g(x,y) com g(x,y)=\bigl(x^{2}+y\bigr)^{3}.
Para \partial f/\partial x: derivamos g em relação a x e multiplicamos por z:
Verificar que o vetor de direção fornecido é unitário (se não fosse, teríamos que normalizá-lo). Calcule a norma de v=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right):