Resolva os itens abaixo.
Resolva o sistema linear
\left.\begin{array}{rl} \text { linenr } \\\ x_{1}-3 x_{2}+x_{3} & =4 \\\\ 2 x_{1}-x_{2} & =-2 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{3} & =0 \end{array} \quad \begin{array}{c} \\\ \\\ \\\ \end{array} \quad \begin{array}{c} \\\ \\\ \end{array} \quad \begin{array}{cc} \\\ \\\ \end{array}\right\}
usando a regra de Cramer.

Passo 1

O sistema dado é formado por três equações lineares com três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}. O enunciado pede para resolver esse sistema (achar os valores de x_{1},x_{2},x_{3}). As equações fornecidas são:
\begin{array}{rcl} x_{1}-3x_{2}+x_{3} &=& 4,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2} &=& -2,\\[4pt] 4x_{1}-3x_{3} &=& 0. \end{array}
Informações relevantes extraídas:
  • Incógnitas: x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Vetor dos termos independentes (lado direito): \displaystyle b=\begin{pmatrix}4\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Coeficientes das incógnitas (matriz de coeficientes) podem ser lidos diretamente das equações.]

Passo 2

Apresentar a regra de Cramer (explicação didática):
  • Para um sistema linear 3\times3 A x = b com matriz de coeficientes A e vetor de termos independentes b, a regra de Cramer diz que, se \det(A)\neq0, então a solução é
x_{i}=\frac{D_{i}}{D}\quad\text{para }i=1,2,3,
onde D=\det(A) e D_{i} é o determinante da matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A pelo vetor b.
  • Vou calcular D, D_{1}, D_{2} e D_{3} passo a passo. Para determinantes 3\times3 vou usar a regra de Sarrus, que consiste em:
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).

Passo 3

Escrever a matriz de coeficientes A e calcular D=\det(A).
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 0\\[4pt] 4 & 0 & -3 \end{pmatrix}
Aplicando a regra de Sarrus com a_{11}=1, a_{12}=-3, a_{13}=1, a_{21}=2, a_{22}=-1, a_{23}=0, a_{31}=4, a_{32}=0, a_{33}=-3:
\begin{aligned} D &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\[4pt] &\quad -\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr)\\[6pt] &= 1\cdot(-1)\cdot(-3) + (-3)\cdot0\cdot4 + 1\cdot2\cdot0\\[4pt] &\quad -\bigl(1\cdot(-1)\cdot4 + 1\cdot0\cdot0 + (-3)\cdot2\cdot(-3)\bigr)\\[6pt] &= 3 + 0 + 0 -\bigl(-4 + 0 + 18\bigr)\\[4pt] &= 3 - 14 = -11. \end{aligned}
Como D=-11\neq0, o sistema possui solução única e podemos aplicar Cramer.]

Passo 4

Calcular D_{1}: substituir a primeira coluna de A pelo vetor b.
A_{1}=\begin{pmatrix} 4 & -3 & 1\\[4pt] -2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
Usando Sarrus com a_{11}=4, a_{12}=-3, a_{13}=1, a_{21}=-2, a_{22}=-1, a_{23}=0, a_{31}=0, a_{32}=0, a_{33}=-3:
\begin{aligned} D_{1} &= 4\cdot(-1)\cdot(-3) + (-3)\cdot0\cdot0 + 1\cdot(-2)\cdot0\\[4pt] &\quad -\bigl(1\cdot(-1)\cdot0 + 4\cdot0\cdot0 + (-3)\cdot(-2)\cdot(-3)\bigr)\\[6pt] &= 12 + 0 + 0 -\bigl(0 + 0 + (-18)\bigr)\\[4pt] &= 12 - (-18) = 30. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular D_{2}: substituir a segunda coluna de A pelo vetor b.
A_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\[4pt] 2 & -2 & 0\\[4pt] 4 & 0 & -3 \end{pmatrix}
Usando Sarrus com a_{11}=1, a_{12}=4, a_{13}=1, a_{21}=2, a_{22}=-2, a_{23}=0, a_{31}=4, a_{32}=0, a_{33}=-3:
\begin{aligned} D_{2} &= 1\cdot(-2)\cdot(-3) + 4\cdot0\cdot4 + 1\cdot2\cdot0\\[4pt] &\quad -\bigl(1\cdot(-2)\cdot4 + 1\cdot0\cdot0 + 4\cdot2\cdot(-3)\bigr)\\[6pt] &= 6 + 0 + 0 -\bigl(-8 + 0 + (-24)\bigr)\\[4pt] &= 6 - (-32) = 38. \end{aligned}]

Passo 6

Calcular D_{3}: substituir a terceira coluna de A pelo vetor b.
A_{3}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 4\\[4pt] 2 & -1 & -2\\[4pt] 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Usando Sarrus com a_{11}=1, a_{12}=-3, a_{13}=4, a_{21}=2, a_{22}=-1, a_{23}=-2, a_{31}=4, a_{32}=0, a_{33}=0:
\begin{aligned} D_{3} &= 1\cdot(-1)\cdot0 + (-3)\cdot(-2)\cdot4 + 4\cdot2\cdot0\\[4pt] &\quad -\bigl(4\cdot(-1)\cdot4 + 1\cdot(-2)\cdot0 + (-3)\cdot2\cdot0\bigr)\\[6pt] &= 0 + 24 + 0 -\bigl(-16 + 0 + 0\bigr)\\[4pt] &= 24 - (-16) = 40. \end{aligned}]

Passo 7

Aplicar a regra de Cramer para obter x_{1},x_{2},x_{3}:
x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{30}{-11}=-\frac{30}{11}, \qquad x_{2}=\frac{D_{2}}{D}=\frac{38}{-11}=-\frac{38}{11}, \qquad x_{3}=\frac{D_{3}}{D}=\frac{40}{-11}=-\frac{40}{11}.

Passo 8

Verificação rápida (checar uma equação para ganhar confiança):
  • Usando x_{1}=-\dfrac{30}{11} e x_{2}=-\dfrac{38}{11} na segunda equação 2x_{1}-x_{2}:
2\!\left(-\frac{30}{11}\right)-\left(-\frac{38}{11}\right)=-\frac{60}{11}+\frac{38}{11}=-\frac{22}{11}=-2,
que coincide com o lado direito da segunda equação. Isso dá confiança de que os cálculos estão corretos.

Resposta

x_{1}=-\dfrac{30}{11}
x_{2}=-\dfrac{38}{11}
x_{3}=-\dfrac{40}{11}

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