Calcule a derivada direcional Da função f(x, y, z) = 2 x z^2 cos(pi y) no ponto P = (1, 2, -1) em direção ao ponto Q = (2, 1, 3).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do ponto . A derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função na direção específica de um vetor.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Gradiente da função: Vetor que aponta na direção de maior subida da função.
  • Vetores direcional: Direção do ponto para o ponto .
  • Produto escalar: Para calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor direção que vai de até . Subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, vamos normalizar esse vetor direção para que ele tenha comprimento 1. A normalização é importante porque a derivada direcional usa a direção pura, sem considerar o tamanho do vetor.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unit��rio na direção de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário :
Fazendo as contas:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é:

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