Encontre a equação do plano tangente às seguintes superfícies. x * y + y * z + z * x = 11 no ponto P = (1, 2, 3)

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender um pouco sobre gradientes, que vão nos ajudar a determinar a direção normal ao plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de um jeito que fique mais fácil de trabalhar. Vamos definir uma função tal que:
Dessa forma, a superfície é o conjunto de pontos onde .

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular o gradiente de , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a , e . O gradiente aponta na direção normal à superfície no ponto dado.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente no ponto é .

Passo 5

Com o gradiente em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
Se preferir, pode ser simplificada para:

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