Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(xvii) f(x)=x^{2} e^{\arctan x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{2}e^{\arctan x}.
Para isso vamos usar a regra do produto (pois é produto de x^2 por e^{\arctan x}) e a regra da cadeia (para derivar e^{\arctan x}).

Passo 2

Defina
u(x)=x^{2} \quad\text{e}\quad v(x)=e^{\arctan x}.
Então suas derivadas são
u'(x)=2x \quad\text{e}\quad v'(x)=e^{\arctan x}\cdot\frac{d}{dx}(\arctan x) =e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Aplique a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Substituindo u,u',v,v' em f'(x):
f'(x) =2x\,e^{\arctan x} +x^{2}\,\Bigl(e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\Bigr).
Fatorando e^{\arctan x}:
f'(x) =e^{\arctan x}\Bigl(2x+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^{\arctan x}\Bigl(2x+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\Bigr).

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