Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(xvi) f(x)=\left(1+\arctan \left(x^{2}\right)\right)^{x^{4}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^{x^4}
e pede sua derivada f'(x). Aqui vamos usar logaritmo natural e depois regra do produto e regra da cadeia para diferenciar uma função do tipo g(x)^{h(x)}.

Passo 2

Tomamos o logaritmo de f(x):
\ln f(x)=x^4\;\ln\!\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr).
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x:
\frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{d}{dx}\bigl[x^4\ln(1+\arctan(x^2))\bigr].

Passo 3

Aplicamos a regra do produto em x^4\cdot\ln(1+\arctan(x^2)):
\frac{d}{dx}[x^4]\;\ln(1+\arctan(x^2)) \;+\;x^4\;\frac{d}{dx}\bigl[\ln(1+\arctan(x^2))\bigr].
Calculamos cada termo:
  1. \displaystyle\frac{d}{dx}[x^4]=4x^3.
  2. Para \displaystyle\frac{d}{dx}\ln(1+\arctan(x^2)), uso regra da cadeia:
\frac{1}{1+\arctan(x^2)}\cdot\frac{d}{dx}[\arctan(x^2)] =\frac{1}{1+\arctan(x^2)}\cdot\frac{2x}{1+x^4}.
Somando,
\frac{f'(x)}{f(x)} =4x^3\ln\!\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr) \;+\;x^4\;\frac{2x}{\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)(1+x^4)}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por f(x) para obter f'(x):
f'(x) =\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^{x^4} \left[ 4x^3\ln\!\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr) +\frac{2x^5}{\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)(1+x^4)} \right].

Resposta

f'(x) =\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)^{x^4} \!\left[\, 4x^3\ln\!\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr) +\frac{2x^5}{\bigl(1+\arctan(x^2)\bigr)(1+x^4)} \right].

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