Calcule a derivada.
f(\theta)=\frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(\theta)=\frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é dada por \displaystyle f(\theta)=\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}.
  • Note que o denominador se anula em \theta=0, portanto a expressão dada não está definida em \theta=0 (a menos que alguém a estenda por continuidade).
  • Então, vamos calcular a derivada para \theta\neq 0 e, depois, verificar o que acontece em \theta=0 caso a função seja estendida por continuidade.

Passo 2

Escolha do método: é mais prático reescrever a função como produto de duas funções em vez de aplicar diretamente a regra do quociente. Reescrevemos
f(\theta)=\operatorname{sen}\theta\cdot \theta^{-1}.
Vou usar a regra do produto, porque é direta e evita frações intermediárias complicadas.
Regra do produto (mini-aula): se u(\theta) e v(\theta) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui escolhemos u(\theta)=\operatorname{sen}\theta e v(\theta)=\theta^{-1}. Agora calculamos as derivadas parciais:
  • Derivada de u: \displaystyle u'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\operatorname{sen}\theta=\cos\theta.
  • Derivada de v: \displaystyle v'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\theta^{-1}=-1\cdot\theta^{-2}=-\theta^{-2}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(\theta)=u'(\theta)v(\theta)+u(\theta)v'(\theta)=\cos\theta\cdot\theta^{-1}+\operatorname{sen}\theta\cdot(-\theta^{-2}).
Escrevendo de forma mais explícita:
f'(\theta)=\frac{\cos\theta}{\theta}-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}.

Passo 4

Simplificação final em uma única fração (passo a passo):
  • Colocamos em denominador comum \theta^{2}:
\frac{\cos\theta}{\theta}-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}=\frac{\theta\cos\theta}{\theta^{2}}-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}.
  • Subtraindo os numeradores:
f'(\theta)=\frac{\theta\cos\theta-\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}.
Essa expressão vale para \theta\neq 0.

Passo 5

O que acontece em \theta=0? Primeiro, a função original dada não está definida em \theta=0, mas é comum estendê-la por continuidade definindo f(0)=\lim_{\theta\to 0}\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}=1 (use l’Hôpital ou o limite clássico \lim_{\theta\to0}\operatorname{sen}\theta/\theta=1). Se fizermos essa extensão contínua, podemos verificar a derivada em 0 pela definição:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{\operatorname{sen} h}{h}-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen} h - h}{h^{2}}.
Calculemos esse limite com l’Hôpital (forma 0/0):
  • Derivando numerador e denominador uma vez:
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{2h}\quad\text{(ainda forma \(0/0\))}.
  • Aplicando l’Hôpital novamente:
\lim_{h\to 0}\frac{-\operatorname{sen} h}{2} = 0.
Portanto, se a função for estendida por continuidade em \theta=0 (com f(0)=1), então f'(0)=0.

Resposta

\displaystyle f'(\theta)=\frac{\theta\cos\theta-\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}},\quad \theta\neq 0
Se estendida por continuidade com f(0)=1, então \displaystyle f'(0)=0.

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