Calcule a derivada.
f(x)=2 \operatorname{sen}^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=2\sin^{2}x.
Informações dadas: a função é explicitamente f(x)=2\sin^{2}x. Pergunta: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
  1. Regra da constante multiplicativa: se c é constante e g(x) é função, então
\frac{d}{dx}\big[c\cdot g(x)\big]=c\cdot g'(x).
Isto significa que constante pode ser “puxada para fora” da derivada.
  1. Regra da cadeia para potências: se u(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}\big[u(x)^{2}\big]=2\,u(x)\cdot u'(x).
Aqui a ideia é: a derivada de u^{2} é 2u vezes a derivada de u. Essa é a aplicação da regra da cadeia (derivar a potência externa e multiplicar pela derivada da função interna).
  1. Derivada da função seno: para u(x)=\sin x,
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Ou seja, ao derivar \sin x obtemos \cos x.
Vou aplicar essas 3 ideias juntas — primeiro a constante 2, depois a derivada da potência e por fim a derivada de \sin x.

Passo 3

Aplicando a regra da constante multiplicativa: como f(x)=2\cdot \big(\sin^{2}x\big), temos
f'(x)=2\cdot \frac{d}{dx}\big(\sin^{2}x\big).
Expliquei por que: a constante 2 sai da derivada.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia para \sin^{2}x. Ponho u(x)=\sin x. Pela fórmula da cadeia para potência quadrada,
\frac{d}{dx}\big(\sin^{2}x\big)=2\sin x\cdot \frac{d}{dx}(\sin x).
Aqui em detalhe: derivei u^{2} como 2u e multipliquei por u'(x).

Passo 5

Agora uso que \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Substituindo em cima:
\frac{d}{dx}\big(\sin^{2}x\big)=2\sin x\cdot \cos x.
Então, voltando para f'(x) do Passo 3:
f'(x)=2\cdot \big(2\sin x\cos x\big)=4\sin x\cos x.

Passo 6

Opcional — forma trigonométrica equivalente: lembrando a identidade \sin 2x=2\sin x\cos x, podemos escrever
4\sin x\cos x=2\big(2\sin x\cos x\big)=2\sin 2x.
Logo as formas 4\sin x\cos x e 2\sin 2x são equivalentes.

Resposta

f'(x)=4\sin x\cos x=2\sin 2x

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