Calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é explicitamente
. Pergunta: encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
- Regra da constante multiplicativa: se
é constante e é função, então
Isto significa que constante pode ser “puxada para fora” da derivada.
- Regra da cadeia para potências: se
é uma função, então
Aqui a ideia é: a derivada de
é
vezes a derivada de
. Essa é a aplicação da regra da cadeia (derivar a potência externa e multiplicar pela derivada da função interna).
- Derivada da função seno: para
,
Ou seja, ao derivar
obtemos
.
Vou aplicar essas 3 ideias juntas — primeiro a constante 2, depois a derivada da potência e por fim a derivada de
.
Passo 3
Aplicando a regra da constante multiplicativa: como
, temos
Expliquei por que: a constante
sai da derivada.
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia para
. Ponho
. Pela fórmula da cadeia para potência quadrada,
Aqui em detalhe: derivei
como
e multipliquei por
.
Passo 5
Agora uso que
. Substituindo em cima:
Então, voltando para
do Passo 3:
Passo 6
Opcional — forma trigonométrica equivalente: lembrando a identidade
, podemos escrever
Logo as formas
e
são equivalentes.