Calcule a derivada da função composta
f(x)=\cos \left(\frac{x}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta
f(x)=\cos\left(\frac{x}{x+1}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é escrita como uma composição: uma função cosseno aplicada à expressão \frac{x}{x+1}.
  • A expressão \frac{x}{x+1} não está definida em x=-1. Logo, o domínio natural considerado é x\neq -1.
  • A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em pontos do domínio.

Passo 2

Identificar a estrutura de composição e explicar a regra que vamos usar (cadeia):
  • Escrevo a parte interna como uma função \displaystyle u(x)=\frac{x}{x+1}.
  • A função externa é \displaystyle g(u)=\cos(u).
  • A regra da cadeia diz que, para f(x)=g(u(x)),
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Explicando isso com calma: g'(u) é a derivada de g avaliada no valor u=u(x); em outras palavras, primeiro derivamos a função externa como se o argumento fosse uma variável qualquer, depois multiplicamos pelo derivado da parte interna. Aqui, a derivada de \cos em termos do argumento u é -\sin(u). Portanto, aplicando a regra da cadeia teremos
f'(x)=-\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Agora precisamos achar u'(x).

Passo 3

Calcular u'(x) explicando passo a passo e usando uma maneira simples:
  • Começo reescrevendo \displaystyle u(x)=\frac{x}{x+1} numa forma que facilita derivar:
\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}.
Essa igualdade vem de
\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}.
Reescrever assim evita usar a fórmula do quociente diretamente e deixa a derivação mais direta.

Passo 4

Derivar \displaystyle u(x)=1-\frac{1}{x+1} passo a passo:
  • A derivada de \displaystyle 1 é 0.
  • Para \displaystyle \frac{1}{x+1} escrevo como potência: \displaystyle \frac{1}{x+1}=(x+1)^{-1}.
  • Uso a regra da potência e a regra da cadeia (derivada de x+1 é 1):
\frac{d}{dx}(x+1)^{-1} = -1\cdot (x+1)^{-2}\cdot 1 = -\frac{1}{(x+1)^2}.
  • Portanto, derivando u:
u'(x)=0-\left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right)=\frac{1}{(x+1)^2}.
Vou checar mentalmente: se tivéssemos usado a regra do quociente diretamente, obteríamos o mesmo resultado:
u'(x)=\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2},
o que confirma a conta.

Passo 5

Voltar à regra da cadeia e montar f'(x):
  • Lembre que g'(u)=-\sin(u) e u(x)=\dfrac{x}{x+1}.
  • Substituindo:
f'(x)=-\sin\!\left(\frac{x}{x+1}\right)\cdot \frac{1}{(x+1)^2}.
  • Podemos escrever de forma organizada como
f'(x)=-\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)}{(x+1)^2}.
  • Lembrete sobre domínio: essa expressão faz sentido para x\neq -1, que foi a restrição original.

Resposta

f'(x)=-\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)}{(x+1)^2}

Exercícios relacionados