Calcule a derivada da função composta
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função composta
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é escrita como uma composição: uma função cosseno aplicada à expressão
. - A expressão
não está definida em . Logo, o domínio natural considerado é . - A tarefa é calcular
, a derivada de em pontos do domínio.
Passo 2
Identificar a estrutura de composição e explicar a regra que vamos usar (cadeia):
- Escrevo a parte interna como uma função
. - A função externa é
. - A regra da cadeia diz que, para
,
Explicando isso com calma:
é a derivada de
avaliada no valor
; em outras palavras, primeiro derivamos a função externa como se o argumento fosse uma variável qualquer, depois multiplicamos pelo derivado da parte interna. Aqui, a derivada de
em termos do argumento
é
. Portanto, aplicando a regra da cadeia teremos
Agora precisamos achar
.
Passo 3
Calcular
explicando passo a passo e usando uma maneira simples:
- Começo reescrevendo
numa forma que facilita derivar:
Essa igualdade vem de
Reescrever assim evita usar a fórmula do quociente diretamente e deixa a derivação mais direta.
Passo 4
Derivar
passo a passo:
- A derivada de
é . - Para
escrevo como potência: . - Uso a regra da potência e a regra da cadeia (derivada de
é ):
- Portanto, derivando
:
Vou checar mentalmente: se tivéssemos usado a regra do quociente diretamente, obteríamos o mesmo resultado:
o que confirma a conta.
Passo 5
Voltar à regra da cadeia e montar
:
- Lembre que
e . - Substituindo:
- Podemos escrever de forma organizada como
- Lembrete sobre domínio: essa expressão faz sentido para
, que foi a restrição original.