Determine se cada afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F).
(F) Se uma curva
tiver uma reta tangente horizontal em
, então
.
F
Se
, então
F (V) Se a função
for contínua em
, então
é derivável em
.
(V) Se
para todo
em um intervalo, então
é constante nesse intervalo.
Se
, então as duas funções diferem apenas por uma constante, ou seja,
, onde
é uma constante qualquer.
F (V) Se uma curva
tiver uma “quina” em
, então
.
F (V) Se a função
(V) Se
F (V) Se uma curva
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das seis afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). As seis afirmações, na ordem em que aparecem, são:
-
Se uma curva
tiver uma reta tangente horizontal em , então . -
Se
, então . -
Se a função
for contínua em , então é derivável em . -
Se
para todo em um intervalo, então é constante nesse intervalo. -
Se
, então as duas funções diferem apenas por uma constante, ou seja, , onde é uma constante qualquer. -
Se uma curva
tiver uma “quina” em , então .
Essas são as informações e perguntas que vamos analisar passo a passo.
Passo 2
Analisando a afirmação 1. Primeiro vamos fixar a definição intuitiva que usamos aqui: dizer que uma curva tem uma reta tangente em
significa que existe uma reta que toca a curva em
e que aproxima linearmente a curva perto desse ponto; o coeficiente angular dessa reta é justamente a derivada
, desde que a derivada exista. Em particular, uma reta tangente horizontal é uma reta de equação
constante, ou seja, coeficiente angular igual a zero. Assim, se a reta tangente existe e é horizontal, a inclinação da reta é zero e, por definição da derivada como a inclinação do limite da razão de incrementos, temos
. Exemplo simples: para
a reta tangente em
é horizontal e
. Conclusão: a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação 2. Primeiro vamos simplificar a função dada:
Isto mostra que
é um polinômio. Ao expandir
obtém-se termos entre
e uma constante, portanto o grau total de
é
. Em geral, se
é um polinômio de grau
, então sua derivada
é identicamente zero sempre que
(porque cada derivada diminui o grau em pelo menos 1). Aqui o grau é
, então para
temos
. Conclusão: a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação 3. Precisamos distinguir continuidade e diferenciabilidade. Definições rápidas e intuitivas:
- Uma função
é contínua em se . -
é derivável em se o limite existe (e então é ).
Existem funções que são contínuas mas não têm derivada em um ponto: o exemplo clássico é
em
. Verificação rápida:
é contínua em
porque
. Porém
os limites laterais não coincidem, então a derivada em
não existe. Portanto continuidade não garante diferenciabilidade. Conclusão: a afirmação 3 é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação 4. Aqui usar o Teorema do Valor Médio (TVM) é a forma padrão e simples. Vou enunciar e usar o TVM de modo direto e amigável:
Teorema do Valor Médio (forma usada): se é contínua num intervalo
e derivável em
, então existe
tal que
Teorema do Valor Médio (forma usada): se
Agora suponha que
para todo
num intervalo
. Pegue quaisquer
com
. Aplicando o TVM a
no intervalo
obtemos um
tal que
Como
, segue
, ou seja,
. Como
eram quaisquer pontos do intervalo,
é constante nesse intervalo. (Intuição: derivada zero significa “nenhuma variação”, logo constante.) Conclusão: a afirmação 4 é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação 5. Considere as funções
e
tais que
para todos os
em algum intervalo
. Definimos
. Então
para todo
. Pelo passo anterior (afirmação 4), se a derivada de
é zero em
então
é constante em
. Logo existe uma constante
tal que
para todo
, isto é,
Observação importante (que vale reforçar na prova): é necessário que a igualdade das derivadas ocorra em um conjunto conectado tipo um intervalo; se o enunciado estiver assumindo o cenário usual (derivadas iguais em um intervalo), então a conclusão é válida. Dado que o enunciado foi formulado de maneira padrão, concluímos que a afirmação 5 é verdadeira.
Passo 7
Analisando a afirmação 6. O termo “quina” aqui refere-se a um canto ou canto agudo da curva, isto é, um ponto em que as derivadas laterais existem (ou ao menos as retas tangentes à esquerda e à direita existem) mas têm inclinações diferentes — geometria: a curva muda abruptamente de direção. Nesses pontos a derivada usual não existe porque os limites laterais da diferença quociente não coincidem. Exemplo padrão:
tem uma “quina” em
; as derivadas laterais são
e
, então
não existe (e certamente não é
). Portanto a afirmação que diz que uma quina garante
está errada. Conclusão: a afirmação 6 é falsa.
Resposta
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F