Determine se cada afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F).
V (F) Se uma curva y=f(x) tiver uma reta tangente horizontal em x=a, então f^{\prime}(a)=0.
\vee( F ) Se f(x)=\left(x^{6}-x^{4}\right)^{5}, então f^{(31)}(x)=0
F (V) Se a função f(x) for contínua em x=a, então f(x) é derivável em x=a.
(V) Se f^{\prime}(x)=0 para todo x em um intervalo, então f(x) é constante nesse intervalo.
\sqrt{ }(F) Se f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x), então as duas funções diferem apenas por uma constante, ou seja, f(x)=g(x)+c, onde c é uma constante qualquer.
F (V) Se uma curva y=f(x) tiver uma “quina” em x=a, então f^{\prime}(a)=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das seis afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). As seis afirmações, na ordem em que aparecem, são:
  1. Se uma curva y=f(x) tiver uma reta tangente horizontal em x=a, então f^{\prime}(a)=0.
  2. Se f(x)=\left(x^{6}-x^{4}\right)^{5}, então f^{(31)}(x)=0.
  3. Se a função f(x) for contínua em x=a, então f(x) é derivável em x=a.
  4. Se f^{\prime}(x)=0 para todo x em um intervalo, então f(x) é constante nesse intervalo.
  5. Se f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x), então as duas funções diferem apenas por uma constante, ou seja, f(x)=g(x)+c, onde c é uma constante qualquer.
  6. Se uma curva y=f(x) tiver uma “quina” em x=a, então f^{\prime}(a)=0.
Essas são as informações e perguntas que vamos analisar passo a passo.

Passo 2

Analisando a afirmação 1. Primeiro vamos fixar a definição intuitiva que usamos aqui: dizer que uma curva tem uma reta tangente em x=a significa que existe uma reta que toca a curva em (a,f(a)) e que aproxima linearmente a curva perto desse ponto; o coeficiente angular dessa reta é justamente a derivada f'(a), desde que a derivada exista. Em particular, uma reta tangente horizontal é uma reta de equação y= constante, ou seja, coeficiente angular igual a zero. Assim, se a reta tangente existe e é horizontal, a inclinação da reta é zero e, por definição da derivada como a inclinação do limite da razão de incrementos, temos f'(a)=0. Exemplo simples: para f(x)=x^2 a reta tangente em x=0 é horizontal e f'(0)=0. Conclusão: a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação 2. Primeiro vamos simplificar a função dada:
f(x)=\bigl(x^6-x^4\bigr)^5 = \bigl(x^4(x^2-1)\bigr)^5 = x^{20}\bigl(x^2-1\bigr)^5.
Isto mostra que f(x) é um polinômio. Ao expandir \bigl(x^2-1\bigr)^5 obtém-se termos entre x^{10} e uma constante, portanto o grau total de f é 20+10=30. Em geral, se p(x) é um polinômio de grau m, então sua derivada p^{(n)}(x) é identicamente zero sempre que n>m (porque cada derivada diminui o grau em pelo menos 1). Aqui o grau é 30, então para n=31 temos f^{(31)}(x)\equiv 0. Conclusão: a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação 3. Precisamos distinguir continuidade e diferenciabilidade. Definições rápidas e intuitivas:
  • Uma função f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x) = f(a).
  • f é derivável em a se o limite \lim_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} existe (e então é f'(a)).
Existem funções que são contínuas mas não têm derivada em um ponto: o exemplo clássico é f(x)=|x| em a=0. Verificação rápida: |x| é contínua em 0 porque \lim_{x\to0}|x|=0=f(0). Porém
\lim_{h\to 0^+}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1, \qquad \lim_{h\to 0^-}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1,
os limites laterais não coincidem, então a derivada em 0 não existe. Portanto continuidade não garante diferenciabilidade. Conclusão: a afirmação 3 é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 4. Aqui usar o Teorema do Valor Médio (TVM) é a forma padrão e simples. Vou enunciar e usar o TVM de modo direto e amigável:
Teorema do Valor Médio (forma usada): se f é contínua num intervalo [a,b] e derivável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Agora suponha que f'(x)=0 para todo x num intervalo I. Pegue quaisquer x_1,x_2\in I com x_1<x_2. Aplicando o TVM a f no intervalo [x_1,x_2] obtemos um c\in(x_1,x_2) tal que
0=f'\text{(c)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
Como x_2-x_1\neq 0, segue f(x_2)-f(x_1)=0, ou seja, f(x_2)=f(x_1). Como x_1,x_2 eram quaisquer pontos do intervalo, f é constante nesse intervalo. (Intuição: derivada zero significa “nenhuma variação”, logo constante.) Conclusão: a afirmação 4 é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação 5. Considere as funções f e g tais que f'(x)=g'(x) para todos os x em algum intervalo I. Definimos h(x)=f(x)-g(x). Então h'(x)=f'(x)-g'(x)=0 para todo x\in I. Pelo passo anterior (afirmação 4), se a derivada de h é zero em I então h é constante em I. Logo existe uma constante c tal que h(x)=c para todo x\in I, isto é,
f(x)=g(x)+c \quad\text{para todo }x\in I.
Observação importante (que vale reforçar na prova): é necessário que a igualdade das derivadas ocorra em um conjunto conectado tipo um intervalo; se o enunciado estiver assumindo o cenário usual (derivadas iguais em um intervalo), então a conclusão é válida. Dado que o enunciado foi formulado de maneira padrão, concluímos que a afirmação 5 é verdadeira.

Passo 7

Analisando a afirmação 6. O termo “quina” aqui refere-se a um canto ou canto agudo da curva, isto é, um ponto em que as derivadas laterais existem (ou ao menos as retas tangentes à esquerda e à direita existem) mas têm inclinações diferentes — geometria: a curva muda abruptamente de direção. Nesses pontos a derivada usual não existe porque os limites laterais da diferença quociente não coincidem. Exemplo padrão: f(x)=|x| tem uma “quina” em x=0; as derivadas laterais são f'_-(0)=-1 e f'_+(0)=1, então f'(0) não existe (e certamente não é 0). Portanto a afirmação que diz que uma quina garante f'(a)=0 está errada. Conclusão: a afirmação 6 é falsa.

Resposta

V
V
F
V
V
F

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