Calcule a derivada da função dada.
y = ln(x + raiz(x^2 + 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções logarítmicas e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos derivando. Temos , onde . Para derivar em relação a , precisamos usar a regra da cadeia, que basicamente nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se , então a derivada de em relação a é:
Então, vamos primeiro encontrar .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a . A derivada de é 1. Para a parte da raiz, usamos a regra da cadeia novamente:
Então, .

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão da derivada de :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, combinamos os termos no numerador:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Observamos que aparece no numerador e no denominador. Então, podemos simplificar:

Resposta

A derivada da função é:

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