Calcule a derivada das funções abaixo.
h(x)=\left(2^{x}-1\right)\left(x^{2}+3\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
h(x)=\left(2^{x}-1\right)\left(x^{2}+3\right).
Informações dadas (lista das partes relevantes do enunciado):
\text{fator 1: } \;2^{x}-1,
\text{fator 2: } \;x^{2}+3.
Meta clara: obter h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

Regra que precisamos usar (explicação didática): quando uma função é produto de duas funções, f(x) e g(x), a derivada do produto é dada pela regra do produto:
(fg)' = f'g + fg'.
Aqui f'(x) significa a derivada de f em relação a x, e g'(x) a derivada de g. Em palavras: a derivada do produto é “deriva o primeiro e multiplica pelo segundo, mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo”. Isso é direto de aplicar limites, mas na prova você só precisa lembrar da fórmula e aplicá-la corretamente.

Passo 3

Identificar f e g no nosso caso e calcular suas derivadas separadamente:
Definimos
f(x)=2^{x}-1,
g(x)=x^{2}+3.
Derivada de f(x): a função exponencial de base a>0 tem derivada
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
Aqui a=2. Portanto
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(2^{x}-1\right)=\frac{d}{dx}2^{x}-\frac{d}{dx}1=2^{x}\ln 2 - 0=2^{x}\ln 2.
Breve justificativa do passo: escrevemos 2^{x}=e^{x\ln 2} e derivando obtemos e^{x\ln 2}\cdot\ln 2=2^{x}\ln 2.
Derivada de g(x): usamos a regra do poder (power rule), que diz \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Assim
g'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{2}+3\right)=2x+0=2x.

Passo 4

Aplicar a regra do produto com os f, g, f' e g' que encontramos:
h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Substituindo:
h'(x)=\big(2^{x}\ln 2\big)\big(x^{2}+3\big)+\big(2^{x}-1\big)\big(2x\big).

Passo 5

Simplificar a expressão anterior para uma forma mais compacta (passo a passo de álgebra):
Começamos com
h'(x)=2^{x}\ln 2\,(x^{2}+3)+2x\,(2^{x}-1).
Distribuímos o 2x no segundo termo:
h'(x)=2^{x}\ln 2\,(x^{2}+3)+2x\cdot 2^{x}-2x.
Agora colocamos os termos que contêm 2^{x} em evidência (fator comum 2^{x}):
h'(x)=2^{x}\Big((x^{2}+3)\ln 2 + 2x\Big)-2x.
Essa é uma forma simplificada e prática para usar em prova — deixa claro o termo exponencial em evidência e isola o termo -2x.

Resposta

h'(x)=2^{x}\Big((x^{2}+3)\ln 2 + 2x\Big)-2x

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