Calcule os seguintes comprimentos de arco:
arco do gráfico da função \sqrt{x} no intervalo [0,1]

Passo 1

Enunciado: Calcular o comprimento do arco do gráfico da função \sqrt{x} no intervalo [0,1].
Informações dadas:
f(x)=\sqrt{x},\qquad x\in[0,1].
Pergunta explícita: Qual é o comprimento do arco do gráfico de f para x variando de 0 a 1?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação do porquê): para uma função \,y=f(x)\, derivável por partes em [a,b], o comprimento do arco de x=a até x=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\,dx.
O raciocínio por trás dessa fórmula: num pequeno incremento \,dx\, a variação em y é aproximadamente dy=f'(x)\,dx. O segmento de reta aproximando o arco tem comprimento \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx. Integrando essas pequenas contribuições de a até b obtemos o comprimento total.

Passo 3

Calcular a derivada de \,f(x)=\sqrt{x}\,. Usamos a regra da potência:
f(x)=x^{1/2}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Note que em x=0 a derivada tende ao infinito, mas isso não impede usar a fórmula do comprimento desde que o integrando seja integrável (veremos que sim).

Passo 4

Escrever o integrando da fórmula do comprimento:
1+\big(f'(x)\big)^{2}=1+\frac{1}{4x}=\frac{4x+1}{4x}.
Logo
\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}=\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}},
e o comprimento é
L=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}\,dx.
Aqui vemos a aparente singularidade em x=0 pela \sqrt{x} no denominador; para avaliar se é integrável e para simplificar a integral, fazemos uma substituição conveniente.

Passo 5

Substituição para eliminar a raiz no denominador: ponha \,x=t^{2}\,. Então \sqrt{x}=t, \,dx=2t\,dt e os limites x=0\mapsto t=0, x=1\mapsto t=1. Substituindo:
L=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{4t^{2}+1}}{2t}\cdot(2t)\,dt=\int_{0}^{1}\sqrt{4t^{2}+1}\,dt.
Observe que os fatores 2t se cancelam, eliminando a singularidade aparente em t=0. Agora a integral é bem-comportada.

Passo 6

Outra substituição para simplificar o integrando: defina \,u=2t\Rightarrow du=2\,dt\Rightarrow dt=\tfrac{1}{2}du. Quando t vai de 0 a 1, u vai de 0 a 2. Assim
L=\int_{0}^{1}\sqrt{4t^{2}+1}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{u^{2}+1}\,du.

Passo 7

Calcular a antiderivada de \sqrt{u^{2}+1}. Uma forma elegante é usar substituição hiperbólica: ponha \,u=\operatorname{sinh}(s), então \,du=\operatorname{cosh}(s)\,ds e \sqrt{u^{2}+1}=\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}s+1}=\operatorname{cosh} s. Assim
\int\sqrt{u^{2}+1}\,du=\int\operatorname{cosh}^{2}s\,ds.
Usando a identidade \operatorname{cosh}^{2}s=\tfrac{1}{2}(1+\operatorname{cosh} 2s) temos
\int\operatorname{cosh}^{2}s\,ds=\frac{1}{2}\int(1+\operatorname{cosh} 2s)\,ds=\frac{1}{2}\Big(s+\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} 2s\Big)+C.
Como \operatorname{sinh} 2s=2\operatorname{sinh} s\operatorname{cosh} s, isto fica
\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}\operatorname{sinh} s\operatorname{cosh} s + C.
Voltando para a variável u: \operatorname{sinh} s=u, \operatorname{cosh} s=\sqrt{u^{2}+1}, e s=\operatorname{arsinh}(u)=\ln\big(u+\sqrt{u^{2}+1}\big). Portanto uma antiderivada é
\int\sqrt{u^{2}+1}\,du=\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\!\big(u+\sqrt{u^{2}+1}\big)+C.

Passo 8

Aplicar a antiderivada ao nosso caso:
L=\frac{1}{2}\left[\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\!\big(u+\sqrt{u^{2}+1}\big)\right]_{0}^{2}.
Compute valor em u=2:
\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+1}\Big|_{u=2}=\frac{2}{2}\sqrt{4+1}=\sqrt{5},
\frac{1}{2}\ln\!\big(u+\sqrt{u^{2}+1}\big)\Big|_{u=2}=\frac{1}{2}\ln\!\big(2+\sqrt{5}\big).
Compute valor em u=0:
\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+1}\Big|_{u=0}=0,\qquad \frac{1}{2}\ln\!\big(0+\sqrt{0^{2}+1}\big)=\frac{1}{2}\ln(1)=0.
Somando e multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} externo:
L=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\!\big(2+\sqrt{5}\big)\right)=\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\!\big(2+\sqrt{5}\big).

Resposta

\displaystyle L=\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\!\big(2+\sqrt{5}\big)

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