Calcule os seguintes comprimentos de arco:
arco do gráfico da função \sqrt{x} no intervalo [0,1]
Passo 1
Enunciado: Calcular o comprimento do arco do gráfico da função \sqrt{x} no intervalo [0,1].
Informações dadas:
f(x)=\sqrt{x},\qquad x\in[0,1].
Pergunta explícita: Qual é o comprimento do arco do gráfico de f para x variando de 0 a 1?
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação do porquê): para uma função \,y=f(x)\, derivável por partes em [a,b], o comprimento do arco de x=a até x=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\,dx.
O raciocínio por trás dessa fórmula: num pequeno incremento \,dx\, a variação em y é aproximadamente dy=f'(x)\,dx. O segmento de reta aproximando o arco tem comprimento \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx. Integrando essas pequenas contribuições de a até b obtemos o comprimento total.
Passo 3
Calcular a derivada de \,f(x)=\sqrt{x}\,. Usamos a regra da potência:
Note que em x=0 a derivada tende ao infinito, mas isso não impede usar a fórmula do comprimento desde que o integrando seja integrável (veremos que sim).
Aqui vemos a aparente singularidade em x=0 pela \sqrt{x} no denominador; para avaliar se é integrável e para simplificar a integral, fazemos uma substituição conveniente.
Passo 5
Substituição para eliminar a raiz no denominador: ponha \,x=t^{2}\,. Então \sqrt{x}=t, \,dx=2t\,dt e os limites x=0\mapsto t=0, x=1\mapsto t=1. Substituindo:
Observe que os fatores 2t se cancelam, eliminando a singularidade aparente em t=0. Agora a integral é bem-comportada.
Passo 6
Outra substituição para simplificar o integrando: defina \,u=2t\Rightarrow du=2\,dt\Rightarrow dt=\tfrac{1}{2}du. Quando t vai de 0 a 1, u vai de 0 a 2. Assim
Calcular a antiderivada de \sqrt{u^{2}+1}. Uma forma elegante é usar substituição hiperbólica: ponha \,u=\operatorname{sinh}(s), então \,du=\operatorname{cosh}(s)\,ds e \sqrt{u^{2}+1}=\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}s+1}=\operatorname{cosh} s. Assim
Como \operatorname{sinh} 2s=2\operatorname{sinh} s\operatorname{cosh} s, isto fica
\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}\operatorname{sinh} s\operatorname{cosh} s + C.
Voltando para a variável u: \operatorname{sinh} s=u, \operatorname{cosh} s=\sqrt{u^{2}+1}, e s=\operatorname{arsinh}(u)=\ln\big(u+\sqrt{u^{2}+1}\big). Portanto uma antiderivada é