Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
f(x)=3^{x} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo e simplificar o resultado sempre que possível.
A função dada é f(x)=3^{x} e^{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é produto de duas funções de x: 3^{x} e e^{x}.
  • Precisa-se de f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Se uma função é produto de duas funções u(x) e v(x), isto é f(x)=u(x)\,v(x), então a derivada é
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui devemos escolher u(x) e v(x). Uma escolha natural é
u(x)=3^{x},\qquad v(x)=e^{x}.

Passo 3

Calcular u'(x), a derivada de u(x)=3^{x}.
Para derivar 3^{x} é útil reescrever usando a função exponencial base e:
3^{x}=e^{x\ln 3},
onde \ln 3 é o logaritmo natural de 3 (uma constante). Aplicando a regra da cadeia para e^{g(x)} (a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}g'(x)), com g(x)=x\ln 3 e g'(x)=\ln 3, obtemos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3^{x}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x\ln 3}\bigr)=e^{x\ln 3}\cdot\ln 3=3^{x}\ln 3.
Explicando em palavras: a taxa de variação de 3^{x} traz um fator extra \ln 3 porque 3^{x} cresce como uma exponencial cuja base é 3.

Passo 4

Calcular v'(x), a derivada de v(x)=e^{x}.
A derivada de e^{x} é especialmente simples: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Portanto
v'(x)=e^{x}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto usando os resultados anteriores:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=3^{x}\ln 3, u(x)=3^{x}, v(x)=e^{x} e v'(x)=e^{x}, temos
f'(x)=\bigl(3^{x}\ln 3\bigr)\,e^{x}+3^{x}\,\bigl(e^{x}\bigr).
Agora simplificamos fatorando o fator comum 3^{x}e^{x}:
f'(x)=3^{x}e^{x}\bigl(\ln 3+1\bigr).
Observação rápida (cheque alternativo): como 3^{x}e^{x}=(3e)^{x} e \ln(3e)=\ln 3+\ln e=\ln 3+1, pode-se também escrever
f'(x)=(3e)^{x}\ln(3e),
que é equivalente à forma fatorada anterior.

Resposta

f'(x)=3^{x}e^{x}\bigl(\ln 3+1\bigr)

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