Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo e simplificar o resultado sempre que possível.
A função dada é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é produto de duas funções de
: e . - Precisa-se de
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto. Se uma função é produto de duas funções
e
, isto é
, então a derivada é
Aqui devemos escolher
e
. Uma escolha natural é
Passo 3
Calcular
, a derivada de
.
Para derivar
é útil reescrever usando a função exponencial base
:
onde
é o logaritmo natural de
(uma constante). Aplicando a regra da cadeia para
(a derivada de
é
), com
e
, obtemos
Explicando em palavras: a taxa de variação de
traz um fator extra
porque
cresce como uma exponencial cuja base é
.
Passo 4
Calcular
, a derivada de
.
A derivada de
é especialmente simples:
. Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do produto usando os resultados anteriores:
Substituindo
,
,
e
, temos
Agora simplificamos fatorando o fator comum
:
Observação rápida (cheque alternativo): como
e
, pode-se também escrever
que é equivalente à forma fatorada anterior.