Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Foi dada a função
. - Precisamos calcular a derivada
e simplificá‑la sempre que possível.
Passo 2
Lembrando definições e propriedades básicas (vai ajudar a derivar com calma):
- As funções hiperbólicas em termos de exponenciais:
A partir daí seguem as derivadas elementares porque derivando exponenciais volta-se para as próprias combinações acima. - As funções hiperbólicas que aparecem no enunciado são frações:
- Identidade hiperbólica útil:
A partir daí obtêm‑se também e a relação
Passo 3
Derivada de
.
- Use a regra do quociente: se
e , então Aqui e . Portanto - Aplicando a identidade
obtemos - Alternativamente (forma equivalente muito usada):
porque .
Passo 4
Derivada de
.
- Novamente use a regra do quociente com
e . Então e , e - Usando
fica - Alternativa equivalente:
pois (usando ).
Passo 5
Juntando as derivadas das duas parcelas para obter
.
- Derivando termo a termo,
- Podemos simplificar usando as formas alternativas das derivadas (somando
com ):