Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
f(x)=\operatorname{tgh} x+\operatorname{cotgh} x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Foi dada a função \displaystyle f(x)=\operatorname{tgh} x+\operatorname{cotgh} x.
  • Precisamos calcular a derivada f'(x) e simplificá‑la sempre que possível.

Passo 2

Lembrando definições e propriedades básicas (vai ajudar a derivar com calma):
  • As funções hiperbólicas em termos de exponenciais: \operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.A partir daí seguem as derivadas elementares \frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x,\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x,porque derivando exponenciais volta-se para as próprias combinações acima.
  • As funções hiperbólicas que aparecem no enunciado são frações: \operatorname{tgh} x=\frac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x},\qquad \operatorname{cotgh} x=\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}.
  • Identidade hiperbólica útil: \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1.A partir daí obtêm‑se também \operatorname{sech} x=\frac{1}{\operatorname{cosh} x},\qquad \operatorname{csch} x=\frac{1}{\operatorname{sinh} x},e a relação \operatorname{coth}^{2}x-\operatorname{csch}^{2}x=1.

Passo 3

Derivada de \operatorname{tgh} x.
  • Use a regra do quociente: se u(x)=\operatorname{sinh} x e v(x)=\operatorname{cosh} x, então \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.Aqui u'=\operatorname{cosh} x e v'=\operatorname{sinh} x. Portanto \frac{d}{dx}\operatorname{tgh} x =\frac{\operatorname{cosh} x\cdot \operatorname{cosh} x-\operatorname{sinh} x\cdot\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh}^{2}x} =\frac{\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x}{\operatorname{cosh}^{2}x}.
  • Aplicando a identidade \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1 obtemos \frac{d}{dx}\operatorname{tgh} x=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}x}=\operatorname{sech}^{2}x.
  • Alternativamente (forma equivalente muito usada): \frac{d}{dx}\operatorname{tgh} x=1-\operatorname{tgh}^{2}x,porque \operatorname{sech}^{2}x=1-\operatorname{tgh}^{2}x.

Passo 4

Derivada de \operatorname{cotgh} x.
  • Novamente use a regra do quociente com u(x)=\operatorname{cosh} x e v(x)=\operatorname{sinh} x. Então u'=\operatorname{sinh} x e v'=\operatorname{cosh} x, e \frac{d}{dx}\operatorname{cotgh} x =\frac{\operatorname{sinh} x\cdot\operatorname{sinh} x-\operatorname{cosh} x\cdot\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^{2}x} =\frac{\operatorname{sinh}^{2}x-\operatorname{cosh}^{2}x}{\operatorname{sinh}^{2}x}.
  • Usando \operatorname{sinh}^{2}x-\operatorname{cosh}^{2}x=-(\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x)= -1 fica \frac{d}{dx}\operatorname{cotgh} x=-\frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}x}=-\operatorname{csch}^{2}x.
  • Alternativa equivalente: \frac{d}{dx}\operatorname{cotgh} x=1-\operatorname{cotgh}^{2}x,pois -\operatorname{csch}^{2}x=1-\operatorname{cotgh}^{2}x (usando \operatorname{cotgh}^{2}x-\operatorname{csch}^{2}x=1).

Passo 5

Juntando as derivadas das duas parcelas para obter f'(x).
  • Derivando termo a termo, f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{tgh} x+\frac{d}{dx}\operatorname{cotgh} x =\operatorname{sech}^{2}x-\operatorname{csch}^{2}x.
  • Podemos simplificar usando as formas alternativas das derivadas (somando 1-\operatorname{tgh}^{2}x com 1-\operatorname{cotgh}^{2}x): f'(x)=\bigl(1-\operatorname{tgh}^{2}x\bigr)+\bigl(1-\operatorname{cotgh}^{2}x\bigr) =2-\bigl(\operatorname{tgh}^{2}x+\operatorname{cotgh}^{2}x\bigr).

Resposta

f'(x)=\operatorname{sech}^{2}x-\operatorname{csch}^{2}x=2-\bigl(\operatorname{tgh}^{2}x+\operatorname{cotgh}^{2}x\bigr)

Exercícios relacionados