Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita como uma exponencial cujo expoente é
. - O logaritmo natural
exige . Portanto a função e a derivada só fazem sentido para .
A tarefa é encontrar, a derivada de em relação a .
Passo 2
Revisão das ferramentas que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Regra da cadeia: se
então
Aqui
é qualquer função dependente de
. A ideia é: derivar a parte externa (a exponencial) e multiplicar pela derivada da parte interna (o expoente).
- Regra do produto: se
então
- Derivada do logaritmo natural: para
,
Vou usar essas fórmulas aplicadas ao nosso caso, explicando cada termo quando aparecer.
Passo 3
Identificamos a parte interna (o expoente) como
Agora aplicamos a regra do produto para achar
. Tomando
e
:
-
, -
.
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia à função original
. Pela regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Observação útil: usando propriedades de exponenciais e logaritmos temos
para
. Assim outra forma equivalente e muitas vezes mais elegante é
Passo 5
Método alternativo (logaritmação) — breve reforço didático:
Se escrevermos e tomarmos logaritmo natural:
Se escrevermos
Derivando ambos os lados (regra da cadeia no lado esquerdo e produto no direito):
Isolando
:
o que confirma o resultado anterior. Esse método é muito útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente.
Passo 6
Observações finais e exemplo numérico:
- A derivada encontrada é válida somente para
, pois usamos . - Exemplo rápido: em
,
Força aí — a técnica chave é reconhecer a estrutura exponencial e aplicar regra da cadeia + produto (ou fazer log-diferenciação).