Calcule a derivada das funções abaixo:
y=e^{x \ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=e^{x\ln(x)}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como uma exponencial cujo expoente é x\ln(x).
  • O logaritmo natural \ln(x) exige x>0. Portanto a função e a derivada só fazem sentido para x>0.
    A tarefa é encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Revisão das ferramentas que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Regra da cadeia: se y=e^{u(x)} então
y'=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é qualquer função dependente de x. A ideia é: derivar a parte externa (a exponencial) e multiplicar pela derivada da parte interna (o expoente).
  • Regra do produto: se u(x)=a(x)\,b(x) então
u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
  • Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
Vou usar essas fórmulas aplicadas ao nosso caso, explicando cada termo quando aparecer.

Passo 3

Identificamos a parte interna (o expoente) como
u(x)=x\ln(x).
Agora aplicamos a regra do produto para achar u'(x). Tomando a(x)=x e b(x)=\ln(x):
  • a'(x)=1,
  • b'(x)=\dfrac{1}{x}.
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}=\ln(x)+1.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia à função original y=e^{u(x)}. Pela regra da cadeia:
y'=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x\ln(x) e u'(x)=\ln(x)+1:
y'=e^{x\ln(x)}\bigl(\ln(x)+1\bigr).
Observação útil: usando propriedades de exponenciais e logaritmos temos
e^{x\ln(x)}=\bigl(e^{\ln(x)}\bigr)^{x}=x^{x},
para x>0. Assim outra forma equivalente e muitas vezes mais elegante é
y'=x^{x}\bigl(\ln(x)+1\bigr).

Passo 5

Método alternativo (logaritmação) — breve reforço didático:
Se escrevermos y=x^{x} e tomarmos logaritmo natural:
\ln(y)=x\ln(x).
Derivando ambos os lados (regra da cadeia no lado esquerdo e produto no direito):
\frac{y'}{y}=\ln(x)+1.
Isolando y':
y'=y\bigl(\ln(x)+1\bigr)=x^{x}\bigl(\ln(x)+1\bigr),
o que confirma o resultado anterior. Esse método é muito útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente.

Passo 6

Observações finais e exemplo numérico:
  • A derivada encontrada é válida somente para x>0, pois usamos \ln(x).
  • Exemplo rápido: em x=2,
y'(2)=2^{2}\bigl(\ln(2)+1\bigr)=4\bigl(\ln(2)+1\bigr).
Força aí — a técnica chave é reconhecer a estrutura exponencial e aplicar regra da cadeia + produto (ou fazer log-diferenciação).

Resposta

y' = e^{x\ln(x)}\bigl(\ln(x)+1\bigr) = x^{x}\bigl(\ln(x)+1\bigr)

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