Calcule a derivada das funções:
f(t)=\sqrt{\frac{2 t+1}{t-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(t)=\sqrt{\frac{2t+1}{t-1}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função pode ser reescrita como potência: f(t)=\left(\dfrac{2t+1}{t-1}\right)^{1/2}.
  • Para que f(t) esteja definida é necessário que \dfrac{2t+1}{t-1}>0 e t\neq1 (isso define o domínio da função).

Passo 2

Vamos reescrever de forma que fique claro o uso da regra da cadeia:
f(t)=\left(\frac{2t+1}{t-1}\right)^{1/2}.
Regra que vamos usar (explicação didática): se F(t)=\big(h(t)\big)^{n} com n constante e h diferenciável, então a derivada é dada pela regra da cadeia
F'(t)=n\big(h(t)\big)^{n-1}\cdot h'(t).
Aqui h(t)=\dfrac{2t+1}{t-1} e n=\dfrac{1}{2}. Isto significa: primeiro derivamos a potência externa (trazendo o expoente para frente e diminuindo 1), depois multiplicamos pela derivada da parte interna h'(t).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia diretamente:
f'(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{2t+1}{t-1}\right)^{-1/2}\cdot\left(\frac{2t+1}{t-1}\right)'.
Agora precisamos calcular a derivada da função interna h(t)=\dfrac{2t+1}{t-1}. Para isso usamos a regra do quociente.

Passo 4

Regra do quociente (explicação didática): se h(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)} com u,v diferenciáveis, então
h'(t)=\frac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{v(t)^2}.
No nosso caso escolha u(t)=2t+1 e v(t)=t-1. Calculando:
u'(t)=2,\qquad v'(t)=1.
Portanto
\left(\frac{2t+1}{t-1}\right)'=\frac{2\,(t-1)-(2t+1)\cdot1}{(t-1)^2} =\frac{2t-2-2t-1}{(t-1)^2} =\frac{-3}{(t-1)^2}.

Passo 5

Substituindo esse resultado em f'(t) obtém-se
f'(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{2t+1}{t-1}\right)^{-1/2}\cdot\left(\frac{-3}{(t-1)^2}\right) =-\frac{3}{2}\left(\frac{2t+1}{t-1}\right)^{-1/2}\cdot\frac{1}{(t-1)^2}.
Agora vamos simplificar essa expressão para uma forma mais compacta. Lembre que \big(\dfrac{2t+1}{t-1}\big)^{-1/2}=\sqrt{\dfrac{t-1}{2t+1}}. Substituindo:
f'(t)=-\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{t-1}{2t+1}}\cdot\frac{1}{(t-1)^2}.

Passo 6

Continuando a simplificação das potências: \dfrac{\sqrt{t-1}}{(t-1)^2}=(t-1)^{1/2-2}=(t-1)^{-3/2}=\dfrac{1}{(t-1)^{3/2}}. Assim
f'(t)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(t-1)^{3/2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2t+1}} =-\frac{3}{2\,(t-1)^{3/2}\,\sqrt{2t+1}}.

Passo 7

Comentário final sobre domínio e sinais (importante para a prova): a derivada encontrada só faz sentido onde a função inicial está definida. Resolver \dfrac{2t+1}{t-1}>0 dá os intervalos
t\in(-\infty,-\tfrac{1}{2})\cup(1,\infty).
Portanto a expressão de f'(t) é válida nesses intervalos. Mantenha em mente também que t\neq1 e que \sqrt{2t+1} no denominador exige 2t+1>0 quando t>1, e no caso t<-\tfrac{1}{2} a forma da raiz já foi tratada pela expressão inicial.

Resposta

f'(t)=-\frac{3}{2\,(t-1)^{3/2}\,\sqrt{2t+1}}

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