Calcule a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que temos:
- A função pode ser reescrita como potência:
. - Para que
esteja definida é necessário que e (isso define o domínio da função).
Passo 2
Vamos reescrever de forma que fique claro o uso da regra da cadeia:
Regra que vamos usar (explicação didática): se
com
constante e
diferenciável, então a derivada é dada pela regra da cadeia
Aqui
e
. Isto significa: primeiro derivamos a potência externa (trazendo o expoente para frente e diminuindo 1), depois multiplicamos pela derivada da parte interna
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia diretamente:
Agora precisamos calcular a derivada da função interna
. Para isso usamos a regra do quociente.
Passo 4
Regra do quociente (explicação didática): se
com
diferenciáveis, então
No nosso caso escolha
e
. Calculando:
Portanto
Passo 5
Substituindo esse resultado em
obtém-se
Agora vamos simplificar essa expressão para uma forma mais compacta. Lembre que
. Substituindo:
Passo 6
Continuando a simplificação das potências:
. Assim
Passo 7
Comentário final sobre domínio e sinais (importante para a prova): a derivada encontrada só faz sentido onde a função inicial está definida. Resolver
dá os intervalos
Portanto a expressão de
é válida nesses intervalos. Mantenha em mente também que
e que
no denominador exige
quando
, e no caso
a forma da raiz já foi tratada pela expressão inicial.