QUESTÃO 3 - Considere o seguinte problema de condução de calor em uma barra:
\begin{cases}u_{x x}(x, t)=u_{t}(x, t), & 0<x<2, \quad t>0 \\\ u(0, t)=-1, \quad u(2, t)=1, & t>0 \\\ u(x, 0)=1+x, & 0<x<2 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede encontrar a solução u(x,t) do problema de valor de contorno para a equação do calor na barra, com as seguintes informações fornecidas:
  • Equação diferencial parcial:
u_{x x}(x, t)=u_{t}(x, t),\quad 0<x<2,\; t>0.
  • Condições de contorno (Dirichlet não-homogêneas):
u(0,t)=-1,\quad u(2,t)=1,\quad t>0.
  • Condição inicial:
u(x,0)=1+x,\quad 0<x<2.
O objetivo é obter u(x,t) explícita (ou em série) válida para 0<x<2 e t>0.

Passo 2

Idéia para resolver (explicação didática e motivação): quando as condições de contorno são não-homogêneas é conveniente separar a solução em uma parte estacionária (tempo independe) que satisfaz as condições de contorno, e uma parte transitória que tem contorno homogêneo. Ou seja, procuramos uma decomposição
u(x,t)=v(x)+w(x,t),
onde v(x) é a solução estacionária (independente de t) e w(x,t) satisfaz condição de contorno homogênea. Isso simplifica muito porque a equação do calor é linear.

Passo 3

Encontrar v(x) (solução estacionária). Para v (independente de t) temos v_{xx}=0. Além disso v deve satisfazer as mesmas condições de contorno:
v(0)=-1,\qquad v(2)=1.
A equação v_{xx}=0 implica v(x)=ax+b (reta). Determinar a,b usando as BC:
v(0)=b=-1 \quad\Rightarrow\quad b=-1,
v(2)=2a+b=1 \quad\Rightarrow\quad 2a-1=1 \Rightarrow 2a=2 \Rightarrow a=1.
Portanto
v(x)=x-1.
(Isto é a solução de estado limite para t\to\infty.)

Passo 4

Definir a parte transitória w(x,t) e obter seu problema homogêneo. Seja
w(x,t)=u(x,t)-v(x)=u(x,t)-(x-1).
Como u satisfaz u_{t}=u_{xx} e v''=0, temos
w_{t}=u_{t}-0=u_{xx}-v_{xx}=w_{xx}.
As condições de contorno para w ficam homogêneas:
w(0,t)=u(0,t)-v(0)=-1-(-1)=0,
w(2,t)=u(2,t)-v(2)=1-1=0.
A condição inicial é
w(x,0)=u(x,0)-v(x)=(1+x)-(x-1)=2.
Resumo: w satisfaz o problema homogêneo
\begin{cases} w_{t}=w_{xx}, & 0<x<2,\; t>0,\\[4pt] w(0,t)=0,\quad w(2,t)=0, & t>0,\\[4pt] w(x,0)=2, & 0<x<2. \end{cases}]

Passo 5

Resolver w por separação de variáveis e séries em senos. Procuramos soluções do tipo w(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em w_t=w_{xx} obtemos
X(x)T'(t)=X''(x)T(t).
Dividindo por X T (supondo não-trivial) chega-se à separação
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Para obter decaimento no tempo (soluções físicas), tomamos \lambda=-\lambda_n com \lambda_n>0. Então
X''+\lambda_n X=0,\qquad T'+\lambda_n T=0.
Com as condições X(0)=0,\; X(2)=0 (vindo das BC homogêneas de w), os autovalores e autovetores para X são bem conhecidos: para n=1,2,3,\dots,
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{2}\right)^{2}, \qquad X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
As correspondentes funções temporais são
T_n(t)=e^{-\lambda_n t}=e^{-\left(\frac{n\pi}{2}\right)^{2}t}.
Assim os modos separados são
\phi_n(x,t)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,e^{-\left(\frac{n\pi}{2}\right)^{2}t}.

Passo 6

Expandir a condição inicial w(x,0)=2 na base \{\sin(\tfrac{n\pi x}{2})\}_{n\ge1}. A expansão em série de senos é
w(x,0)=2=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
Para calcular os coeficientes C_n usamos a ortogonalidade das funções seno no intervalo (0,2). A fórmula para os coeficientes é (para L=2)
C_n=\frac{2}{2}\int_{0}^{2}2\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\int_{0}^{2}2\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Agora calculamos a integral passo a passo:
\int_{0}^{2}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\left[-\frac{2}{n\pi}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_{0}^{2} =-\frac{2}{n\pi}\big(\cos(n\pi)-\cos 0\big).
Como \cos(n\pi)=(-1)^n e \cos 0=1, obtemos
\int_{0}^{2}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =-\frac{2}{n\pi}\big((-1)^n-1\big)=\frac{2}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
Multiplicando por 2 (pois C_n tem o fator 2 do valor inicial), resulta
C_n=2\cdot\frac{2}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)=\frac{4}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
Interpretação: para n par temos 1-(-1)^n=0\Rightarrow C_n=0; para n ímpar 1-(-1)^n=2\Rightarrow C_n=\dfrac{8}{n\pi}.

Passo 7

Construir a solução w(x,t) somando os modos com os coeficientes encontrados:
w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n e^{-\left(\frac{n\pi}{2}\right)^{2}t}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right),
com
C_n=\frac{4}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
Como apenas os n ímpares contribuem, é mais limpo reindexar com n=2m+1 ( m=0,1,2,\dots). Para n=2m+1 temos C_{2m+1}=\dfrac{8}{(2m+1)\pi} e \lambda_{2m+1}=\left(\dfrac{(2m+1)\pi}{2}\right)^2. Assim
w(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{(2m+1)\pi}\,e^{-\left(\dfrac{(2m+1)\pi}{2}\right)^{2}t}\, \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\right).

Passo 8

Voltar à solução u somando v e w. Lembrando v(x)=x-1, obtemos a solução completa
u(x,t)=x-1+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{(2m+1)\pi}\,e^{-\left(\dfrac{(2m+1)\pi}{2}\right)^{2}t}\, \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\right).
Observações didáticas finais: a série representa a parte transitória que decai exponencialmente com t (modos de ordem maior decaem mais rápido). No limite t\to\infty os termos exponenciais vão a zero e u(x,t)\to v(x)=x-1, que satisfaz as condições de contorno dadas.

Resposta

u(x,t)=x-1+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{(2m+1)\pi}\,e^{-\left(\dfrac{(2m+1)\pi}{2}\right)^{2}t}\, \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\right).

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