O enunciado pede encontrar a solução u(x,t) do problema de valor de contorno para a equação do calor na barra, com as seguintes informações fornecidas:
Equação diferencial parcial:
u_{x x}(x, t)=u_{t}(x, t),\quad 0<x<2,\; t>0.
Condições de contorno (Dirichlet não-homogêneas):
u(0,t)=-1,\quad u(2,t)=1,\quad t>0.
Condição inicial:
u(x,0)=1+x,\quad 0<x<2.
O objetivo é obter u(x,t) explícita (ou em série) válida para 0<x<2 e t>0.
Passo 2
Idéia para resolver (explicação didática e motivação): quando as condições de contorno são não-homogêneas é conveniente separar a solução em uma parte estacionária (tempo independe) que satisfaz as condições de contorno, e uma parte transitória que tem contorno homogêneo. Ou seja, procuramos uma decomposição
u(x,t)=v(x)+w(x,t),
onde v(x) é a solução estacionária (independente de t) e w(x,t) satisfaz condição de contorno homogênea. Isso simplifica muito porque a equação do calor é linear.
Passo 3
Encontrar v(x) (solução estacionária). Para v (independente de t) temos v_{xx}=0. Além disso v deve satisfazer as mesmas condições de contorno:
v(0)=-1,\qquad v(2)=1.
A equação v_{xx}=0 implica v(x)=ax+b (reta). Determinar a,b usando as BC:
Como apenas os n ímpares contribuem, é mais limpo reindexar com n=2m+1 (m=0,1,2,\dots). Para n=2m+1 temos C_{2m+1}=\dfrac{8}{(2m+1)\pi} e \lambda_{2m+1}=\left(\dfrac{(2m+1)\pi}{2}\right)^2. Assim
Observações didáticas finais: a série representa a parte transitória que decai exponencialmente com t (modos de ordem maior decaem mais rápido). No limite t\to\infty os termos exponenciais vão a zero e u(x,t)\to v(x)=x-1, que satisfaz as condições de contorno dadas.