Calcule a derivada das funções: f(x) = csc(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, às derivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e saber como derivar a função cosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
Aqui, temos uma função trigonométrica composta, onde o argumento dentro da cosecante é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar qual é a derivada da função , onde é uma função de . A derivada de é:
Isso vem da regra da derivada de funções trigonométricas e da regra da cadeia, que usamos quando temos uma função composta.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função , identificamos . Primeiro, encontramos a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula da derivada:
Podemos simplificar essa expressão multiplicando os termos constantes:

Resposta

A derivada da função é:

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