Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular a derivada da função
Informações relevantes que temos:
- A função está escrita como o quadrado do seno de
; isso é o mesmo que . - Não há restrição de domínio explícita, então consideramos
.
O que se pede: encontrar, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos reescrever a função de forma mais clara para aplicar regras de derivação:
Para simplificar a exposição, lembrando que
é o mesmo que
, podemos pensar em
.
Passo 3
Qual técnica usar? Aqui aparece um composto de funções: uma potência externa (elevar ao quadrado) aplicada a
, que por sua vez é uma função composta (seno composto com
). A regra apropriada é a regra da cadeia (chain rule), que diz o seguinte:
Se
, então
Explicando em palavras: para derivar uma composição, derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à camada externa. Tome
A derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia (e a regra da potência) é
Aqui usamos também a regra da potência: se
então
. Agora falta calcular
.
Passo 5
Calcular
com outra aplicação da regra da cadeia, porque
com
. A derivada do seno é o cosseno: se
então
. Assim, pela regra da cadeia,
Passo 6
Agora derivamos
. Usando a regra da potência simples,
Então substituindo em
obtemos
Passo 7
Voltar para
e substituir
e
:
Multiplicando os fatores:
Passo 8
Podemos deixar a resposta em duas formas equivalentes. Uma forma usa a identidade trigonométrica
. Aplicando aqui com
,
Ambas as formas estão corretas e valem para todo
.