Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\operatorname{sen}^{2}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(x^{2}\bigr).
Informações relevantes que temos:
  • A função está escrita como o quadrado do seno de x^{2}; isso é o mesmo que \bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)^{2}.
  • Não há restrição de domínio explícita, então consideramos x\in\mathbb{R}.
    O que se pede: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos reescrever a função de forma mais clara para aplicar regras de derivação:
f(x)=\bigl(\operatorname{sen}(x^{2})\bigr)^{2}.
Para simplificar a exposição, lembrando que \operatorname{sen} x é o mesmo que \sin x, podemos pensar em f(x) = \bigl(\sin(x^{2})\bigr)^{2}.

Passo 3

Qual técnica usar? Aqui aparece um composto de funções: uma potência externa (elevar ao quadrado) aplicada a \sin(x^{2}), que por sua vez é uma função composta (seno composto com x^{2}). A regra apropriada é a regra da cadeia (chain rule), que diz o seguinte:
Se F(x)=h(g(x)), então
F'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Explicando em palavras: para derivar uma composição, derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à camada externa. Tome
u(x)=\sin(x^{2}), \qquad f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2}.
A derivada de f em relação a x usando a regra da cadeia (e a regra da potência) é
f'(x)=2\,u(x)\cdot u'(x).
Aqui usamos também a regra da potência: se y=u^{2} então \dfrac{dy}{du}=2u. Agora falta calcular u'(x).

Passo 5

Calcular u'(x) com outra aplicação da regra da cadeia, porque u(x)=\sin(v(x)) com v(x)=x^{2}. A derivada do seno é o cosseno: se u=\sin(v) então \dfrac{du}{dv}=\cos(v). Assim, pela regra da cadeia,
u'(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot v'(x).

Passo 6

Agora derivamos v(x)=x^{2}. Usando a regra da potência simples,
v'(x)=2x.
Então substituindo em u'(x) obtemos
u'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = 2x\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 7

Voltar para f'(x)=2\,u(x)\cdot u'(x) e substituir u(x)=\sin(x^{2}) e u'(x)=2x\cos(x^{2}):
f'(x)=2\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\bigl(2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\bigr).
Multiplicando os fatores:
f'(x)=4x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 8

Podemos deixar a resposta em duas formas equivalentes. Uma forma usa a identidade trigonométrica 2\sin a\cos a=\sin(2a). Aplicando aqui com a=x^{2},
4x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cos\bigl(x^{2}\bigr)=2x\cdot\bigl(2\sin(x^{2})\cos(x^{2})\bigr)=2x\sin\bigl(2x^{2}\bigr).
Ambas as formas estão corretas e valem para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

f'(x)=4x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cos\bigl(x^{2}\bigr)=2x\sin\bigl(2x^{2}\bigr)

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