Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a composição de funções: toma
, eleva a (dando ), aplica o cosseno (dando ) e por fim eleva ao quadrado (dando ). - Objetivo: obter
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas como se eu estivesse te explicando numa prova):
- Regra da cadeia (versão simples): se
, então
Isto significa: para derivar uma composição, derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
- Regra da potência (caso especial da cadeia): se
, então
Aqui
é uma função de
.
- Derivada do cosseno: se
, então
- Derivada de
: diretamente pela regra da potência,
Passo 3
Identificar as funções internas e externas para aplicar a cadeia de forma clara:
- Seja
. Então . - Seja
. Como depende de , temos e
- Seja
. Então .
A função original é. Vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis: primeiro derivamos em relação a , depois em relação a , e por fim em relação a .
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia em cadeia (mostrando cada multiplicando):
Substituindo
e
, obtemos a expressão produto (ainda sem “nomeá-la”):
Passo 5
Simplificando a expressão anterior passo a passo (contas elementares):
- Multiplicando os coeficientes numéricos:
. - Mantendo os fatores trigonométricos e
, chega-se a
Passo 6
Simplificação trigonométrica alternativa (opcional, útil para aparecer em formas mais compactas na prova):
- Lembrando a identidade de ângulo duplo:
- Aplicando com
, tem-se . - Assim a expressão
pode ser reescrita como