Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\cos ^{2}\left(x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\cos^{2}\!\bigl(x^{3}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é a composição de funções: toma x, eleva a 3 (dando x^{3}), aplica o cosseno (dando \cos(x^{3})) e por fim eleva ao quadrado (dando \cos^{2}(x^{3})).
  • Objetivo: obter f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas como se eu estivesse te explicando numa prova):
  • Regra da cadeia (versão simples): se F(x)=G(H(x)), então
F'(x)=G'\bigl(H(x)\bigr)\cdot H'(x).
Isto significa: para derivar uma composição, derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
  • Regra da potência (caso especial da cadeia): se G(u)=u^{n}, então
G'(u)=n\,u^{\,n-1}.
Aqui u é uma função de x.
  • Derivada do cosseno: se v(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr), então
v'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
  • Derivada de x^{3}: diretamente pela regra da potência,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.

Passo 3

Identificar as funções internas e externas para aplicar a cadeia de forma clara:
  • Seja u(x)=x^{3}. Então u'(x)=3x^{2}.
  • Seja v(u)=\cos(u). Como u depende de x, temos v(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr) e
\frac{d}{dx}v(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
  • Seja w(v)=v^{2}. Então w'(v)=2v.
    A função original é f(x)=w\bigl(v(u(x))\bigr). Vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis: primeiro derivamos w em relação a v, depois v em relação a u, e por fim u em relação a x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em cadeia (mostrando cada multiplicando):
\text{derivada da camada externa } = 2\,v,
\text{derivada da camada do meio } = -\sin(u),
\text{derivada da camada interna } = 3x^{2}.
Substituindo v=\cos\bigl(u\bigr) e u=x^{3}, obtemos a expressão produto (ainda sem “nomeá-la”):
2\cos\bigl(x^{3}\bigr)\cdot\bigl(-\sin\bigl(x^{3}\bigr)\bigr)\cdot 3x^{2}.

Passo 5

Simplificando a expressão anterior passo a passo (contas elementares):
  • Multiplicando os coeficientes numéricos: 2\cdot(-1)\cdot 3 = -6.
  • Mantendo os fatores trigonométricos e x^{2}, chega-se a
-6x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\sin\bigl(x^{3}\bigr).

Passo 6

Simplificação trigonométrica alternativa (opcional, útil para aparecer em formas mais compactas na prova):
  • Lembrando a identidade de ângulo duplo:
\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a).
  • Aplicando com a=x^{3}, tem-se 2\sin(x^{3})\cos(x^{3})=\sin\bigl(2x^{3}\bigr).
  • Assim a expressão -6x^{2}\cos(x^{3})\sin(x^{3}) pode ser reescrita como
-3x^{2}\sin\bigl(2x^{3}\bigr).

Resposta

-6x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\sin\bigl(x^{3}\bigr)
-3x^{2}\sin\bigl(2x^{3}\bigr)

Exercícios relacionados