Calcule a derivada de:
h(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\frac{\sin x}{1-\cos x}
O assunto envolvido é derivação de quociente de funções, para o qual vamos usar a regra do quociente e depois simplificar usando a identidade trigonométrica \sin^2x+\cos^2x=1.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, em que se u(x)=\sin x e v(x)=1-\cos x, temos
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{\cos x\,(1-\cos x)-\sin x\,(\sin x)}{(1-\cos x)^2}.

Passo 3

No numerador simplificamos usando \sin^2x+\cos^2x=1:
\cos x-\cos^2x-\sin^2x =\cos x-\bigl(\cos^2x+\sin^2x\bigr) =\cos x-1.
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h'(x) =\frac{\cos x-1}{(1-\cos x)^2} =-\frac{1-\cos x}{(1-\cos x)^2} =-\frac{1}{1-\cos x}.

Resposta

h'(x)=-\frac{1}{1-\cos x}.

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