Calcule a derivada.
k(t)=t-t^{2} \cos t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
k(t) = t - t^{2}\cos t.
Para resolver, vamos usar as regras de derivação: regra da soma, regra do produto e a derivada de \cos t.

Passo 2

Derivamos o primeiro termo t. Pela regra de potências (ou simplesmente sabendo que \frac{d}{dt}(t)=1), obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1.

Passo 3

Para o segundo termo -\,t^{2}\cos t, aplicamos a regra do produto em u(t)=t^{2} e v(t)=\cos t. Primeiro calculamos
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t,
v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=-\sin t.
Logo,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\cos t\bigr) = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t) =2t\cos t + t^{2}(-\sin t) =2t\cos t - t^{2}\sin t.

Passo 4

Como o segundo termo em k(t) vem com sinal negativo, subtraímos essa derivada:
k'(t) =1 - \bigl(2t\cos t - t^{2}\sin t\bigr) =1 - 2t\cos t + t^{2}\sin t.

Resposta

k'(t)=1 - 2t\cos t + t^{2}\sin t.

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