Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
Z=4 x y-\operatorname{sen}^{2}(x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
Z(x,y)=4\,x\,y - \operatorname{sen}^2\bigl(xy\bigr).
O conteúdo aqui envolve derivada parcial, usando a regra do produto para 4xy e a regra da cadeia para \operatorname{sen}^2(xy).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial x}:
  1. Para 4xy, tratando y como constante, pela regra do produto obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(4xy)=4y.
  1. Para \operatorname{sen}^2(xy), considere a função composta u=xy e v(u)=\operatorname{sen}^2(u). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sen}^2(xy)\bigr] =2\,\operatorname{sen}(xy)\,\cos(xy)\;\frac{\partial}{\partial x}(xy) =2\,\operatorname{sen}(xy)\,\cos(xy)\;y.
Subtraindo esse resultado, fica
\frac{\partial Z}{\partial x} =4y - 2\,y\,\operatorname{sen}(xy)\,\cos(xy).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial y}:
  1. Para 4xy, agora tratando x como constante,
\frac{\partial}{\partial y}(4xy)=4x.
  1. Para \operatorname{sen}^2(xy), usando a mesma composição u=xy e v(u)=\operatorname{sen}^2(u),
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sen}^2(xy)\bigr] =2\,\operatorname{sen}(xy)\,\cos(xy)\;\frac{\partial}{\partial y}(xy) =2\,\operatorname{sen}(xy)\,\cos(xy)\;x.
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\frac{\partial Z}{\partial y} =4x - 2\,x\,\operatorname{sen}(xy)\,\cos(xy).

Resposta

\frac{\partial Z}{\partial x} =4y - 2\,y\,\operatorname{sen}(xy)\,\cos(xy), \qquad \frac{\partial Z}{\partial y} =4x - 2\,x\,\operatorname{sen}(xy)\,\cos(xy).

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