Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
Z=\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
Z = \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{3}}
ou seja, \frac{\partial Z}{\partial x} tratando y como constante e \frac{\partial Z}{\partial y} tratando x como constante. Vamos usar a regra do quociente: se Z = f/g, então
\frac{\partial Z}{\partial u} = \frac{f_{u}'\,g - f\,g_{u}'}{g^{2}}.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial x} definimos
f(x,y) = x^{2}y, \quad g(x,y) = x^{2}+y^{3}.
Então
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial g}{\partial x} = 2x.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{(2xy)(x^{2}+y^{3}) - (x^{2}y)(2x)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.
No numerador:
2xy\,(x^{2}+y^{3}) - 2x^{3}y = 2x^{3}y + 2xy^{4} - 2x^{3}y = 2x\,y^{4}.
Logo,
\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial y} usamos
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = 3y^{2}.
Logo,
\frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{x^{2}(x^{2}+y^{3}) - (x^{2}y)(3y^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.
No numerador:
x^{2}x^{2} + x^{2}y^{3} - 3x^{2}y^{3} = x^{4} - 2x^{2}y^{3} = x^{2}(x^{2} - 2y^{3}).
Portanto,
\frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{x^{2}\bigl(x^{2} - 2y^{3}\bigr)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.

Resposta

\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}, \qquad \frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{x^{2}\bigl(x^{2}-2y^{3}\bigr)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}.

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