Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
f(x)=2^{x^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função f(x)=2^{x^{x}}.
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia em combinação com a derivada de uma exponencial de base não‐ e e a derivada da função x^x.

Passo 2

Escrevemos f(x) como exponencial natural para aplicar a regra da cadeia de forma direta:
f(x)=2^{x^x} = e^{\ln(2^{x^x})} = e^{x^x \,\ln 2}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em
f(x)=e^{x^x \,\ln 2},
obtemos
f'(x) = e^{x^x \,\ln 2}\,\frac{d}{dx}\bigl(x^x \,\ln 2\bigr) = e^{x^x \,\ln 2}\,\ln 2\;\frac{d}{dx}(x^x).

Passo 4

Agora calculamos a derivada de x^x. Usamos a reescrita x^x=e^{x\ln x} e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(x^x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x\ln x}\bigr) = e^{x\ln x}\,\frac{d}{dx}(x\ln x) = x^x\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 5

Substituindo \frac{d}{dx}(x^x) em f'(x), temos
f'(x) = e^{x^x \,\ln 2}\,\ln 2 \;\bigl[x^x(\ln x + 1)\bigr] = 2^{\,x^x}\,\ln 2\;x^x\;(\ln x + 1).

Resposta

f'(x)=2^{x^x}\,\ln 2\;x^x\;(\ln x + 1).

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