Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
f(x)=x^{\left(x^{x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
f(x)=x^{\bigl(x^{x}\bigr)}.
Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica, que é indicada quando a variável aparece na base e no expoente. Também precisaremos da regra do produto e da derivada de x^x.

Passo 2

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, definimos y=f(x) e escrevemos
\ln y = \ln\bigl(x^{(x^x)}\bigr) = x^x\;\ln x.

Passo 3

Derivamos em relação a x usando que \frac{d}{dx}\ln y = \frac{y'}{y} e a regra do produto em x^x\ln x:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl(x^x\ln x\bigr) = \bigl(x^x\bigr)'\,\ln x + x^x\cdot\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora calculamos \bigl(x^x\bigr)'. Sabemos que x^x = e^{x\ln x}, logo
\bigl(x^x\bigr)' = x^x\;\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 5

Substituindo em \frac{y'}{y}:
\frac{y'}{y} = x^x\;(\ln x +1)\,\ln x \;+\; x^x\cdot\frac{1}{x} = x^x\;\Bigl[\ln x\,(\ln x +1) + \tfrac{1}{x}\Bigr].

Passo 6

Voltando a y=f(x) e isolando y':
f'(x)=y' = y\;\frac{y'}{y} = x^{\bigl(x^x\bigr)}\;x^x\;\Bigl[\ln x\,(\ln x +1) + \tfrac{1}{x}\Bigr].

Resposta

f'(x) = x^{\bigl(x^x\bigr)}\,x^x \;\Bigl[\ln x\,(\ln x +1) + \tfrac{1}{x}\Bigr].

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