Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x}^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{x}^{\sqrt{x}}
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A raiz quadrada está definida apenas para x\ge 0, mas aqui o caso x=0 gera 0^0 indefinido, então o domínio relevante para a derivada é x>0.
  • Podemos reescrever \sqrt{x} como x^{1/2}.
  • Objetivo: encontrar f'(x) para x>0.

Passo 2

Escolha do método (explicação e motivo): a função tem base e expoente dependentes de x ao mesmo tempo. Uma técnica muito eficiente é a diferenciação logarítmica: tomar o logaritmo natural dos dois lados transforma uma potência com variável no expoente em um produto, que fica mais fácil de derivar. A fórmula geral que vamos usar (e que vou demonstrar no caminho) é: para y=u(x)^{v(x)} vale
\ln y = v(x)\ln u(x),
e ao derivar
\frac{y'}{y}=v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}.
Vou aplicar essa ideia passo a passo.

Passo 3

Reescrever a função numa forma conveniente:
f(x)=\left(x^{1/2}\right)^{x^{1/2}}=x^{\frac{1}{2}x^{1/2}}.
Será útil usar a forma f(x)=x^{\frac{1}{2}x^{1/2}} nas contas.

Passo 4

Aplicar logaritmo natural e preparar para diferenciar. Seja y=f(x). Então
y = x^{\frac{1}{2}x^{1/2}}
e tomando o logaritmo natural:
\ln y = \frac{1}{2}x^{1/2}\,\ln x.

Passo 5

Derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos que \dfrac{d}{dx}\ln y=\dfrac{y'}{y} (regra da cadeia). No lado direito temos um produto de duas funções de x: a(x)=\dfrac{1}{2}x^{1/2} e b(x)=\ln x. Vou calcular as derivadas parciais:
Derivada de a(x)=\dfrac{1}{2}x^{1/2}:
a'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{4}x^{-1/2}.
Derivada de b(x)=\ln x:
b'(x)=\frac{1}{x}.
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\Big(\frac{1}{2}x^{1/2}\ln x\Big)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x) =\frac{1}{4}x^{-1/2}\ln x+\frac{1}{2}x^{1/2}\cdot\frac{1}{x}.
Agora simplificar o segundo termo: \dfrac{1}{2}x^{1/2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}. Assim
\frac{d}{dx}\Big(\frac{1}{2}x^{1/2}\ln x\Big)=\frac{1}{4}x^{-1/2}\ln x+\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Colocando em fator comum x^{-1/2}:
\frac{d}{dx}\Big(\frac{1}{2}x^{1/2}\ln x\Big)=x^{-1/2}\left(\frac{1}{4}\ln x+\frac{1}{2}\right).
Mais uma simplificação útil:
\frac{1}{4}\ln x+\frac{1}{2}=\frac{\ln x+2}{4},
portanto
\frac{d}{dx}\Big(\frac{1}{2}x^{1/2}\ln x\Big)=\frac{\ln x+2}{4}x^{-1/2}.

Passo 6

Agora igualamos as duas derivadas obtidas:
\frac{y'}{y}=\frac{\ln x+2}{4}x^{-1/2}.
Multiplicando ambos os lados por y para obter y':
y' = y\cdot\frac{\ln x+2}{4}x^{-1/2}.
Voltando para y=f(x) em sua forma original \sqrt{x}^{\sqrt{x}} (ou x^{\frac{1}{2}x^{1/2}}), obtemos a expressão final da derivada:
f'(x)=\sqrt{x}^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\ln x+2}{4\sqrt{x}}.

Passo 7

Observações finais e checagem rápida:
  • A derivada está definida para x>0, conforme o domínio que consideramos.
  • Teste numérico simples: em x=1 temos f(1)=1^{1}=1 e
f'(1)=1\cdot\frac{\ln 1+2}{4\cdot 1}=\frac{0+2}{4}=\frac{1}{2},
o que parece consistente.

Resposta

f'(x)=\sqrt{x}^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\ln x+2}{4\sqrt{x}}

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