Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que temos:
- A raiz quadrada está definida apenas para
, mas aqui o caso gera indefinido, então o domínio relevante para a derivada é . - Podemos reescrever
como . - Objetivo: encontrar
para .
Passo 2
Escolha do método (explicação e motivo): a função tem base e expoente dependentes de
ao mesmo tempo. Uma técnica muito eficiente é a diferenciação logarítmica: tomar o logaritmo natural dos dois lados transforma uma potência com variável no expoente em um produto, que fica mais fácil de derivar. A fórmula geral que vamos usar (e que vou demonstrar no caminho) é: para
vale
e ao derivar
Vou aplicar essa ideia passo a passo.
Passo 3
Reescrever a função numa forma conveniente:
Será útil usar a forma
nas contas.
Passo 4
Aplicar logaritmo natural e preparar para diferenciar. Seja
. Então
e tomando o logaritmo natural:
Passo 5
Derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos que
(regra da cadeia). No lado direito temos um produto de duas funções de
:
e
. Vou calcular as derivadas parciais:
Derivada de
:
Derivada de
:
Pela regra do produto,
Agora simplificar o segundo termo:
. Assim
Colocando em fator comum
:
Mais uma simplificação útil:
portanto
Passo 6
Agora igualamos as duas derivadas obtidas:
Multiplicando ambos os lados por
para obter
:
Voltando para
em sua forma original
(ou
), obtemos a expressão final da derivada:
Passo 7
Observações finais e checagem rápida:
- A derivada está definida para
, conforme o domínio que consideramos. - Teste numérico simples: em
temos e
o que parece consistente.