Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^{3}+\ln (2 x)+\operatorname{sec} ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x^{3}+\ln(2x)+\operatorname{sec}^{2}(x).
Informações e restrições importantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a soma de três parcelas: x^{3}, \ln(2x) e \operatorname{sec}^{2}(x).
  • A derivada será obtida aplicando regras de derivação termo a termo (derivada da soma).
  • Domínio natural da função: \ln(2x) exige 2x>0 \Rightarrow x>0; \operatorname{sec}^{2}(x) exige \cos(x)\neq0. Portanto a função (e sua derivada) só fazem sentido para x>0 com \cos(x)\neq0.

Passo 2

Derivada da primeira parcela \,x^{3}.
Regra usada (regra do poder): para todo número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Explicando: essa fórmula diz que para uma potência simples de x, você pega o expoente e multiplica pela mesma potência com o expoente reduzido em uma unidade. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}.
Aplicando ao caso n=3:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.

Passo 3

Derivada da segunda parcela \,\ln(2x).
Duas maneiras de entender (as duas levam ao mesmo resultado):
  1. Usando a regra da função composta: se u(x)=2x então \ln(2x)=\ln(u(x)) e
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(u(x))\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u'(x)=2, então
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(2x)\bigr)=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.
  1. Observação alternativa (muito útil em provas): \ln(2x)=\ln 2+\ln x. Como \ln 2 é constante, sua derivada é 0, e \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}. Logo novamente obtém-se \dfrac{1}{x}.

Passo 4

Derivada da terceira parcela \,\operatorname{sec}^{2}(x).
Explicando com detalhe (regra da cadeia): escrevemos \operatorname{sec}^{2}(x)=\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)^{2}. Se g(x)=(\,h(x)\,)^{2} então
g'(x)=2\,h(x)\cdot h'(x).
Aqui h(x)=\operatorname{sec}(x). Precisamos de h'(x). Regra conhecida:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Portanto, aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x)\bigr)=2\,\operatorname{sec}(x)\cdot\bigl(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\bigr)=2\,\operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x).
Observação alternativa: como \operatorname{sec}^{2}(x)=1/\cos^{2}(x), derivando diretamente também se chega ao mesmo resultado, mas a abordagem com a cadeia é mais direta.

Passo 5

Juntando as derivadas termo a termo (derivada da soma é a soma das derivadas):
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de \ln(2x) é \dfrac{1}{x}.
  • Derivada de \operatorname{sec}^{2}(x) é 2\,\operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x).
Portanto, a derivada de f é
f'(x)=3x^{2}+\frac{1}{x}+2\,\operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x),
valendo para x>0 com \cos(x)\neq0.

Resposta

f'(x)=3x^{2}+\frac{1}{x}+2\,\operatorname{sec}^{2}(x)\tan(x)

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