Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações e restrições importantes dadas pelo enunciado:
- A função é a soma de três parcelas:
, e . - A derivada será obtida aplicando regras de derivação termo a termo (derivada da soma).
- Domínio natural da função:
exige ; exige . Portanto a função (e sua derivada) só fazem sentido para com .
Passo 2
Derivada da primeira parcela
.
Regra usada (regra do poder): para todo número real
,
Explicando: essa fórmula diz que para uma potência simples de
, você pega o expoente e multiplica pela mesma potência com o expoente reduzido em uma unidade. Exemplo rápido:
.
Aplicando ao caso
:
Passo 3
Derivada da segunda parcela
.
Duas maneiras de entender (as duas levam ao mesmo resultado):
- Usando a regra da função composta: se
então e
Aqui
, então
- Observação alternativa (muito útil em provas):
. Como é constante, sua derivada é , e . Logo novamente obtém-se .
Passo 4
Derivada da terceira parcela
.
Explicando com detalhe (regra da cadeia): escrevemos
. Se
então
Aqui
. Precisamos de
. Regra conhecida:
Portanto, aplicando a regra da cadeia:
Observação alternativa: como
, derivando diretamente também se chega ao mesmo resultado, mas a abordagem com a cadeia é mais direta.
Passo 5
Juntando as derivadas termo a termo (derivada da soma é a soma das derivadas):
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto, a derivada de
é
valendo para
com
.