Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
j(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
j(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}.
Informações dadas: a função está escrita como uma razão entre a raiz quadrada de x e x+1. Deve-se produzir j'(x).

Passo 2

Identificar o domínio natural da função (informação útil para saber onde a derivada faz sentido). A raiz quadrada \sqrt{x} exige x\ge 0. O denominador x+1 não anula-se para x=-1, mas isso não interessa aqui porque -1 não pertence ao domínio por causa da raiz. Portanto o domínio natural é x\ge 0. A derivada que vamos obter será válida para x>0 (veremos porquê mais adiante).

Passo 3

Escolher um método para derivar. Duas formas naturais:
  • usar a regra do quociente diretamente; ou
  • reescrever como produto j(x)=x^{1/2}(x+1)^{-1} e aplicar a regra do produto com a regra da potência (e, quando necessário, a regra da cadeia).
Vou usar a segunda abordagem (produto + potência) porque permite aplicar a regra da potência de forma direta e é bastante clara nos passos.

Passo 4

Relembrando as regras que vou usar (com explicação didática):
  • Regra da potência: para u(x)=x^{n} com n\in\mathbb{R}, tem-se u'(x)=n x^{n-1}. No nosso caso, \sqrt{x}=x^{1/2}, então a derivada é \dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (válido para x>0).
  • Regra do produto: se j(x)=u(x)\,v(x), então j'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x). Aqui vamos identificar u(x)=x^{1/2} e v(x)=(x+1)^{-1}.
  • Regra da potência aplicada a (x+1)^{-1}: vista como w(x)=(x+1)^{m} com m=-1, tem-se w'(x)=m(x+1)^{m-1}\cdot (x+1)'. Como (x+1)'=1, obtemos (x+1)^{-1}'=-1\,(x+1)^{-2}.

Passo 5

Calcular as derivadas das partes:
  • Seja u(x)=x^{1/2}. Então
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\qquad\text{(válido para \(x>0\))}.á
  • Seja v(x)=(x+1)^{-1}. Então
v'(x)=-1\,(x+1)^{-2}=-\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto:
j'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
j'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{x+1} +\sqrt{x}\cdot\left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right).
Ou, escrito de forma mais clara,
j'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)}-\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}.

Passo 7

Fazer a soma algebricamente com denominador comum. O denominador comum escolhido é 2\sqrt{x}\,(x+1)^2. Transformando cada parcela:
Primeira parcela:
\frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)}=\frac{x+1}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2}.
Segunda parcela:
\frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}=\frac{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2}=\frac{2x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2}.
Subtraindo numeradores sobre o denominador comum:
j'(x)=\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2}.

Passo 8

Interpretação final e domínio da derivada: a expressão obtida
j'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2}
é válida para x>0 (porque usamos \frac{1}{\sqrt{x}}). Em x=0 a função j vale j(0)=0, mas a derivada não existe em 0: avaliando o quociente de diferença dá uma divergência do tipo 1/\sqrt{h} quando h\to0^+, logo não há derivada finita em 0. Portanto j é diferenciável em todo x>0 e não diferenciável em x=0.

Passo 9

(Verificação rápida via regra do quociente) Se quisermos checar, aplicando a regra do quociente para j(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1} com p(x)=\sqrt{x} e q(x)=x+1:
j'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{(q(x))^2} =\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2},
o que, ao multiplicar numerador e denominador por 1 na forma que igualamos antes, reduz-se à mesma expressão
\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2}.
Isso confirma o resultado.

Resposta

j'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2} (para x>0).

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