Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função está escrita como uma razão entre a raiz quadrada de e
. Deve-se produzir
.
Informações dadas: a função está escrita como uma razão entre a raiz quadrada de
Passo 2
Identificar o domínio natural da função (informação útil para saber onde a derivada faz sentido). A raiz quadrada
exige
. O denominador
não anula-se para
, mas isso não interessa aqui porque
não pertence ao domínio por causa da raiz. Portanto o domínio natural é
. A derivada que vamos obter será válida para
(veremos porquê mais adiante).
Passo 3
Escolher um método para derivar. Duas formas naturais:
- usar a regra do quociente diretamente; ou
- reescrever como produto
e aplicar a regra do produto com a regra da potência (e, quando necessário, a regra da cadeia).
Vou usar a segunda abordagem (produto + potência) porque permite aplicar a regra da potência de forma direta e é bastante clara nos passos.
Passo 4
Relembrando as regras que vou usar (com explicação didática):
- Regra da potência: para
com , tem-se . No nosso caso, , então a derivada é (válido para ). - Regra do produto: se
, então . Aqui vamos identificar e . - Regra da potência aplicada a
: vista como com , tem-se . Como , obtemos .
Passo 5
Calcular as derivadas das partes:
- Seja
. Então
- Seja
. Então
Passo 6
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Ou, escrito de forma mais clara,
Passo 7
Fazer a soma algebricamente com denominador comum. O denominador comum escolhido é
. Transformando cada parcela:
Primeira parcela:
Segunda parcela:
Subtraindo numeradores sobre o denominador comum:
Passo 8
Interpretação final e domínio da derivada: a expressão obtida
é válida para
(porque usamos
). Em
a função
vale
, mas a derivada não existe em
: avaliando o quociente de diferença dá uma divergência do tipo
quando
, logo não há derivada finita em
. Portanto
é diferenciável em todo
e não diferenciável em
.
Passo 9
(Verificação rápida via regra do quociente) Se quisermos checar, aplicando a regra do quociente para
com
e
:
o que, ao multiplicar numerador e denominador por
na forma que igualamos antes, reduz-se à mesma expressão
Isso confirma o resultado.