Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado:
. - Pedido: calcular a derivada
(ou ), ou seja, encontrar a taxa de variação da função em termos de .
Passo 2
Apresentar a regra que vou usar (a regra do produto) e explicar o que cada símbolo significa.
Aqui:
-
e são duas funções quaisquer de . -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
A regra diz: para derivar um produto, deriva-se a primeira função mantendo a segunda, mais deriva-se a segunda mantendo a primeira.
Passo 3
Identificar
e
no nosso problema.
Escolho:
Isso facilita porque cada uma é um polinômio simples.
Passo 4
Derivar
usando a regra da potência e a derivada de constante.
Regra da potência: para
vale
. A derivada de uma constante é zero.
Aplicando a
:
Passo 5
Derivar
aplicando a regra da potência termo a termo.
Passo 6
Aplicar a regra do produto substituindo
,
,
e
:
Substituindo:
Passo 7
Desenvolver os produtos (multiplicar termo a termo) para simplificar a expressão.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 8
Somar os dois resultados e combinar termos semelhantes.
Some os polinômios:
Agora combine os coeficientes:
Portanto
Passo 9
Verificação rápida (cheque): expandir o produto original e derivar o polinômio resultante dá o mesmo, como conferência.
Expandindo
:
Derivando termo a termo:
que coincide com o resultado anterior.