Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
y=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-2 x+5\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: y=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-2x+5\right).
  • Pedido: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou y'), ou seja, encontrar a taxa de variação da função em termos de x.

Passo 2

Apresentar a regra que vou usar (a regra do produto) e explicar o que cada símbolo significa.
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui:
  • u(x) e v(x) são duas funções quaisquer de x.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    A regra diz: para derivar um produto, deriva-se a primeira função mantendo a segunda, mais deriva-se a segunda mantendo a primeira.

Passo 3

Identificar u(x) e v(x) no nosso problema.
Escolho:
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=x^{3}-2x+5.
Isso facilita porque cada uma é um polinômio simples.

Passo 4

Derivar u(x) usando a regra da potência e a derivada de constante.
Regra da potência: para x^{n} vale \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. A derivada de uma constante é zero.
Aplicando a u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=\frac{d}{dx}x^{2}+\frac{d}{dx}1=2x+0=2x.

Passo 5

Derivar v(x) aplicando a regra da potência termo a termo.
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-2x+5\bigr)=\frac{d}{dx}x^{3}-2\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}5=3x^{2}-2+0=3x^{2}-2.

Passo 6

Aplicar a regra do produto substituindo u, v, u' e v':
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
\frac{dy}{dx}=(2x)\bigl(x^{3}-2x+5\bigr)+\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigl(3x^{2}-2\bigr).

Passo 7

Desenvolver os produtos (multiplicar termo a termo) para simplificar a expressão.
Primeiro termo:
(2x)(x^{3}-2x+5)=2x\cdot x^{3}-2x\cdot 2x+2x\cdot 5=2x^{4}-4x^{2}+10x.
Segundo termo:
(x^{2}+1)(3x^{2}-2)=x^{2}\cdot 3x^{2}+x^{2}\cdot(-2)+1\cdot 3x^{2}+1\cdot(-2)=3x^{4}-2x^{2}+3x^{2}-2.

Passo 8

Somar os dois resultados e combinar termos semelhantes.
Some os polinômios:
\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=(2x^{4}-4x^{2}+10x)+(3x^{4}-2x^{2}+3x^{2}-2)\\[4pt] &=(2x^{4}+3x^{4})+(-4x^{2}-2x^{2}+3x^{2})+10x-2. \end{aligned}
Agora combine os coeficientes:
2x^{4}+3x^{4}=5x^{4},
-4x^{2}-2x^{2}+3x^{2}=(-4-2+3)x^{2}=-3x^{2}.
Portanto
\frac{dy}{dx}=5x^{4}-3x^{2}+10x-2.]

Passo 9

Verificação rápida (cheque): expandir o produto original e derivar o polinômio resultante dá o mesmo, como conferência.
Expandindo y:
y=(x^{2}+1)(x^{3}-2x+5)=x^{5}-x^{3}+5x^{2}-2x+5.
Derivando termo a termo:
\frac{dy}{dx}=5x^{4}-3x^{2}+10x-2,
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=5x^{4}-3x^{2}+10x-2

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