Calcule a derivada solicitada para cada função dada:
f(x)=\frac{-3}{2 x+4}, f^{\prime \prime \prime}(x)= ?

Passo 1

O enunciado pede a terceira derivada da função
f(x)=\frac{-3}{2x+4}.
Esse problema envolve a aplicação da regra do poder (power rule) junto com a regra da cadeia (chain rule) em cada derivação.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=-3\,(2x+4)^{-1}.
Aplicando power rule e chain rule de uma vez, obtemos
f'(x)=-3\cdot(-1)\,(2x+4)^{-2}\cdot(2) =6\,(2x+4)^{-2}.

Passo 3

Agora derivamos
f'(x)=6\,(2x+4)^{-2}.
Novamente usando power rule e chain rule:
f''(x)=6\cdot(-2)\,(2x+4)^{-3}\cdot(2) =-24\,(2x+4)^{-3}.

Passo 4

Para a terceira derivada, partimos de
f''(x)=-24\,(2x+4)^{-3}
e aplicamos as regras:
f'''(x)=-24\cdot(-3)\,(2x+4)^{-4}\cdot(2) =144\,(2x+4)^{-4}.
Podemos simplificar reconhecendo 2x+4=2(x+2):
f'''(x)=\frac{144}{2^4\,(x+2)^4} =\frac{9}{(x+2)^4}.

Resposta

f'''(x)=\frac{144}{(2x+4)^4}=\frac{9}{(x+2)^4}.

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