Calcule a derivada solicitada para cada função dada:
f(x)=\frac{2}{x-1} ; \quad f^{(4)}(x)= ?

Passo 1

O enunciado pede a quarta derivada da função \displaystyle f(x)=\frac{2}{x-1}. O conteúdo é derivação de funções do tipo potência, aplicando a regra de potência repetidamente para obter derivadas de ordem superior. Vamos reescrever f como uma potência e deduzir uma fórmula geral para f^{(k)}(x).

Passo 2

Escrevemos
f(x)=2\,(x-1)^{-1}.
Pela regra de potência,
\frac{d}{dx}(x-1)^m = m\,(x-1)^{m-1}.
Aplicando isso k vezes em m=-1, obtemos
f^{(k)}(x) =2\;(-1)\,(-2)\,\cdots\,(-k)\;(x-1)^{-1-k}.
Como
(-1)(-2)\cdots(-k)=(-1)^{k}\,k!,
segue-se que
f^{(k)}(x)=2\,(-1)^k\,k!\,(x-1)^{-1-k}.

Passo 3

Basta agora tomar k=4. Assim,
f^{(4)}(x) =2\,(-1)^4\,4!\,(x-1)^{-5} =2\cdot1\cdot24\,(x-1)^{-5} =48\,(x-1)^{-5}.

Resposta

f^{(4)}(x)=\frac{48}{(x-1)^5}.

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