Calcule a derivada solicitada para cada função dada:
f(x)=x^{3}+\sqrt{x}, f^{\prime \prime \prime}(x)= ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = x^{3} + \sqrt{x}
e pede a terceira derivada f'''(x). O conteúdo usado será a regra do poder para derivadas de funções do tipo x^{n}, aplicando-a termo a termo três vezes, lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2}.

Passo 2

Primeiro calculamos a primeira derivada. Aplicando a regra do poder em cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac12\,x^{-1/2}.
Logo,
f'(x)=3x^{2} + \tfrac12\,x^{-1/2}.

Passo 3

Agora a segunda derivada, derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=6x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac12\,x^{-1/2}\bigr) =\tfrac12\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)x^{-3/2} =-\tfrac14\,x^{-3/2}.
Portanto,
f''(x)=6x \;-\;\tfrac14\,x^{-3/2}.

Passo 4

Finalmente, a terceira derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(6x\bigr)=6, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(-\tfrac14\,x^{-3/2}\bigr) =-\tfrac14\cdot\bigl(-\tfrac32\bigr)x^{-5/2} =\tfrac{3}{8}\,x^{-5/2}.
Assim,
f'''(x)=6 + \tfrac{3}{8}\,x^{-5/2}.

Resposta

f'''(x)=6+\frac{3}{8}x^{-\frac{5}{2}}

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