Calcule a derivada de \tan z e determine seus pontos de singularidade.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \displaystyle \tan z
e, em seguida, determinar seus pontos de singularidade.
O conteúdo principal aqui é cálculo de derivada de função composta (regra do quociente) e análise de zeros do denominador para achar singularidades complexas.

Passo 2

Escrevemos \tan z como quociente de funções básicas:
\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}.
Sabemos que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\sin z = \cos z, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\cos z = -\sin z.
Usaremos a regra do quociente: se f(z)=\frac{u(z)}{v(z)} então
f'(z) =\frac{u'(z)\,v(z)-u(z)\,v'(z)}{[v(z)]^2}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente com u(z)=\sin z e v(z)=\cos z, obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\tan z =\frac{\cos z\cdot\cos z \;-\;\sin z\cdot(-\sin z)}{\cos^2 z} =\frac{\cos^2 z+\sin^2 z}{\cos^2 z} =\frac{1}{\cos^2 z}.
Portanto,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\tan z =\operatorname{sec}^2 z =\frac{1}{\cos^2 z}.

Passo 4

Os pontos de singularidade de \tan z e de \operatorname{sec}^2 z ocorrem quando o denominador se anula, ou seja, onde
\cos z = 0.
Na análise complexa, as soluções de \cos z=0 são
z = \frac{\pi}{2} + k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z},
e nesses pontos \tan z apresenta polos simples.

Resposta

A derivada é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\tan z = \operatorname{sec}^2 z = \frac{1}{\cos^2 z},
e os pontos de singularidade são
z = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

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