Mostre que as seguintes funções são inteiras e determine as derivadas de cada uma a seguir. Mostre também que cada uma delas é periódica, determinando seus períodos, e escreva-as na forma
, onde
e
são funções reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma função inteira, ou seja, analítica em todo
; depois determinar sua derivada, provar que ela é periódica e achar seus períodos; e finalmente escrever
na forma
com
reais. Vamos usar propriedades da exponencial e a forma de Euler para isso.
Passo 2
A função exponencial
é inteira, logo
também é inteira. Como soma, diferença e multiplicação por constantes de funções inteiras continuam inteiras, segue que
é inteira. Para achar a derivada, usamos a derivada de
e de
:
Assim
Passo 3
Para periodicidade, note que
. Então
Logo
é um período. Por isso todos os períodos são os múltiplos
,
; o período fundamental não nulo de menor módulo é
.
Passo 4
Para escrever em parte real e imaginária, ponha
. Usando
obtém-se
Assim
Resposta
A função
é inteira; sua derivada é
ela é periódica com período fundamental
(todos os períodos são
,
); e
logo
e
.