Mostre que as seguintes funções são inteiras e determine as derivadas de cada uma a seguir. Mostre também que cada uma delas é periódica, determinando seus períodos, e escreva-as na forma u(x, y)+i v(x, y), onde u e v são funções reais.
\operatorname{sinh} z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\operatorname{sinh} z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}
é uma função inteira, ou seja, analítica em todo \mathbb{C}; depois determinar sua derivada, provar que ela é periódica e achar seus períodos; e finalmente escrever \operatorname{sinh}(x+iy) na forma u(x,y) + i\,v(x,y) com u,v reais. Vamos usar propriedades da exponencial e a forma de Euler para isso.

Passo 2

A função exponencial e^z é inteira, logo e^{-z} também é inteira. Como soma, diferença e multiplicação por constantes de funções inteiras continuam inteiras, segue que
\operatorname{sinh} z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}
é inteira. Para achar a derivada, usamos a derivada de e^z e de e^{-z}:
\frac{d}{dz}e^z = e^z, \quad \frac{d}{dz}e^{-z} = -e^{-z}.
Assim
\frac{d}{dz}\operatorname{sinh} z = \frac{1}{2}\bigl(e^z - (-e^{-z})\bigr) = \frac{e^z + e^{-z}}{2} = \operatorname{cosh} z.

Passo 3

Para periodicidade, note que e^{z+2\pi i} = e^z\,e^{2\pi i} = e^z. Então
\operatorname{sinh}(z + 2\pi i) = \frac{e^{z+2\pi i} - e^{-z-2\pi i}}{2} = \frac{e^z - e^{-z}}{2} = \operatorname{sinh} z.
Logo 2\pi i é um período. Por isso todos os períodos são os múltiplos 2\pi i k, k\in\mathbb{Z}; o período fundamental não nulo de menor módulo é 2\pi i.

Passo 4

Para escrever em parte real e imaginária, ponha z = x + i y. Usando
e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y), \quad e^{-x-iy} = e^{-x}(\cos y - i\sin y),
obtém-se
\operatorname{sinh}(x+iy) = \frac{e^x\cos y + i\,e^x\sin y - \bigl(e^{-x}\cos y - i\,e^{-x}\sin y\bigr)}{2} = \bigl(\operatorname{sinh} x\cos y\bigr) + i\bigl(\operatorname{cosh} x\sin y\bigr).
Assim
u(x,y) = \operatorname{sinh} x\cos y, \quad v(x,y) = \operatorname{cosh} x\sin y.

Resposta

A função \operatorname{sinh} z é inteira; sua derivada é
\frac{d}{dz}\operatorname{sinh} z = \operatorname{cosh} z;
ela é periódica com período fundamental 2\pi i (todos os períodos são 2\pi i k, k\in\mathbb{Z}); e
\operatorname{sinh}(x+iy) = \operatorname{sinh} x\cos y \;+\; i\,\operatorname{cosh} x\sin y,
logo u(x,y)=\operatorname{sinh} x\cos y e v(x,y)=\operatorname{cosh} x\sin y.

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