Calcule a derivada de tanh
e determine seus pontos de singularidade.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
e determinar seus pontos de singularidade.
Conteúdo: diferenciação de funções hiperbólicas em variável complexa e análise de onde a função derivada deixa de ser analítica (zeros de denominador).
Vamos usar a definição
Conteúdo: diferenciação de funções hiperbólicas em variável complexa e análise de onde a função derivada deixa de ser analítica (zeros de denominador).
Vamos usar a definição
e empregar a regra do quociente, além da identidade
.
Passo 2
Aplicando a regra do quociente em
temos
Passo 3
Usando a identidade hiperbólica
, obtemos
Passo 4
A derivada fica
Os pontos de singularidade são onde
, pois aí
não está definido.
Passo 5
As soluções de
são
Nestes pontos a derivada tem polos de segunda ordem, já que o denominador
zera de grau 2.