Calcule a derivada de tanh z e determine seus pontos de singularidade.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \operatorname{tanh} z e determinar seus pontos de singularidade.
Conteúdo: diferenciação de funções hiperbólicas em variável complexa e análise de onde a função derivada deixa de ser analítica (zeros de denominador).
Vamos usar a definição
\operatorname{tanh} z = \frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}
e empregar a regra do quociente, além da identidade \operatorname{cosh}^2z-\operatorname{sinh}^2z=1.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em
f(z)=\frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z},
temos
f'(z) =\frac{\operatorname{cosh} z\cdot\operatorname{cosh} z - \operatorname{sinh} z\cdot\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh}^2 z} =\frac{\operatorname{cosh}^2z-\operatorname{sinh}^2z}{\operatorname{cosh}^2z}.

Passo 3

Usando a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^2z-\operatorname{sinh}^2z=1, obtemos
f'(z) =\frac{1}{\operatorname{cosh}^2z} =\sech^2 z.

Passo 4

A derivada fica
\frac{d}{dz}\bigl(\operatorname{tanh} z\bigr)=\sech^2 z =\frac{1}{\operatorname{cosh}^2 z}.
Os pontos de singularidade são onde \operatorname{cosh} z=0, pois aí \sech^2z não está definido.

Passo 5

As soluções de \operatorname{cosh} z=0 são
z = i\Bigl(\frac{\pi}{2}+k\pi\Bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.
Nestes pontos a derivada tem polos de segunda ordem, já que o denominador \operatorname{cosh}^2z zera de grau 2.

Resposta

\frac{d}{dz}\bigl(\operatorname{tanh} z\bigr)=\sech^2 z \quad\text{e singularidades em}\quad z = i\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Bigr),\;k\in\mathbb{Z}.

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