Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\operatorname{arcsec}(\ln x)+\ln (\operatorname{arcsec} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{arcsec}(\ln x)+\ln\bigl(\operatorname{arcsec} x\bigr).
Informações e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • A função contém \ln x, então é necessário ter x>0 para que \ln x esteja definida.
  • A função contém \operatorname{arcsec}(\ln x), portanto é necessário que |\ln x|\ge 1 para que esse termo faça sentido no domínio usual da \operatorname{arcsec}.
  • A função contém \operatorname{arcsec} x dentro de um \ln, então também é necessário que |x|\ge 1 para que \operatorname{arcsec} x esteja definida (e além disso \operatorname{arcsec} x>0 não é obrigatório porque \ln aceita argumentos positivos; observa-se que \operatorname{arcsec} x>0 para x\ge1, enquanto para x\le-1 \operatorname{arcsec} x dá valores positivos também se adotada a definição principal — de qualquer modo a expressão só é válida quando \operatorname{arcsec} x>0).
  • O objetivo: calcular f'(x) e apresentar passo a passo como chegar ao resultado.

Passo 2

Vamos recordar regras que vamos usar (com explicação curta e intuitiva).
  • Regra da cadeia: se h(x)=g(u(x)) e conhecemos g'(u) e u'(x), então
h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Isto significa: derivada da função composta = derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna.
  • Derivada do logaritmo natural: para qualquer função diferenciável u(x) com u(x)>0,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Derivada da função \operatorname{arcsec} x: vamos deduzir uma fórmula prática para usar na cadeia.

Passo 3

Derivar \operatorname{arcsec} x por um método claro (usar relação com \operatorname{arccos}). Uma definição útil é
\operatorname{arcsec} x=\operatorname{arccos}\!\bigl(1/x\bigr)\quad\text{(para \(|x|\ge1\))}.
Usando a derivada de \operatorname{arccos} que é \dfrac{d}{dt}\operatorname{arccos} t=-\dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}, aplicamos a cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{d}{dx}\operatorname{arccos}\!\bigl(1/x\bigr) = -\frac{1}{\sqrt{1-(1/x)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1/x\bigr).
Agora \dfrac{d}{dx}(1/x)=-1/x^{2}, então
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = -\frac{1}{\sqrt{1-1/x^{2}}}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr) = \frac{1}{x^{2}\sqrt{1-1/x^{2}}}.
Simplificamos a raiz:
\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}=\sqrt{\tfrac{x^{2}-1}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{|x|}.
Substituindo,
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{|x|}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}.
Como x^{2}=|x|^{2}, temos |x|/x^{2}=1/|x|. Portanto a forma final e comum é
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}\qquad(\text{para }|x|\ge1).
Explicação rápida do papel do valor absoluto: ele aparece quando extraímos |x| ao simplificar \sqrt{x^{2}}=\;|x|. Isso garante o sinal correto para x positivo ou negativo.

Passo 4

Derivar o primeiro termo \operatorname{arcsec}(\ln x).
  • Aqui a função externa é g(u)=\operatorname{arcsec} u e a função interna é u(x)=\ln x.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(\ln x) = g'(u(x))\cdot u'(x).
Usando a fórmula de g'(u) obtida no passo anterior com u=\ln x, temos
g'(u)=\frac{1}{|u|\sqrt{u^{2}-1}} \quad\text{(válido quando }|u|\ge1\text{)}.á
E u'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(\ln x) = \frac{1}{|\ln x|\sqrt{(\ln x)^{2}-1}}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\,|\ln x|\sqrt{(\ln x)^{2}-1}}.
Observação sobre domínio: essa expressão só vale onde \ln x é definido e |\ln x|\ge1, isto é, para x>0 com |\ln x|\ge1.

Passo 5

Derivar o segundo termo \ln\bigl(\operatorname{arcsec} x\bigr).
  • Use a regra da cadeia com a função externa h(v)=\ln v e a interna v(x)=\operatorname{arcsec} x.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\operatorname{arcsec} x\bigr) = \frac{1}{\operatorname{arcsec} x}\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x.
Substituindo a derivada de \operatorname{arcsec} x do passo 3:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\operatorname{arcsec} x\bigr) = \frac{1}{\operatorname{arcsec} x}\cdot\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{1}{\operatorname{arcsec} x\,|x|\sqrt{x^{2}-1}}.
Lembrete de domínio: isso exige |x|\ge1 e \operatorname{arcsec} x>0 para que o logaritmo esteja definido (na prática, para x\ge1 a \operatorname{arcsec} x é positiva e o termo é válido).

Passo 6

Somamos as derivadas dos dois termos para obter f'(x). Assim,
f'(x)=\frac{1}{x\,|\ln x|\sqrt{(\ln x)^{2}-1}}+\frac{1}{\operatorname{arcsec} x\,|x|\sqrt{x^{2}-1}}.
Comentário sobre simplificações: se o domínio for restrito a x>1 (caso comum em provas), então |x|=x e, se além disso \ln x>1, então |\ln x|=\ln x; nestes casos a expressão pode ser sem valores absolutos:
f'(x)=\frac{1}{x\,\ln x\sqrt{(\ln x)^{2}-1}}+\frac{1}{\operatorname{arcsec} x\,x\sqrt{x^{2}-1}}\quad(\text{quando }x>1\text{ e }\ln x>1).
Porém a forma correta e geral é a que usa os valores absolutos para cobrir os sinais.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\,|\ln x|\sqrt{(\ln x)^{2}-1}}+\frac{1}{\operatorname{arcsec} x\,|x|\sqrt{x^{2}-1}}.

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