Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações e observações imediatas extraídas do enunciado:
- A função contém
, então é necessário ter para que esteja definida. - A função contém
, portanto é necessário que para que esse termo faça sentido no domínio usual da . - A função contém
dentro de um , então também é necessário que para que esteja definida (e além disso não é obrigatório porque aceita argumentos positivos; observa-se que para , enquanto para dá valores positivos também se adotada a definição principal — de qualquer modo a expressão só é válida quando ). - O objetivo: calcular
e apresentar passo a passo como chegar ao resultado.
Passo 2
Vamos recordar regras que vamos usar (com explicação curta e intuitiva).
- Regra da cadeia: se
e conhecemos e , então
Isto significa: derivada da função composta = derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna.
- Derivada do logaritmo natural: para qualquer função diferenciável
com ,
- Derivada da função
: vamos deduzir uma fórmula prática para usar na cadeia.
Passo 3
Derivar
por um método claro (usar relação com
). Uma definição útil é
Usando a derivada de
que é
, aplicamos a cadeia:
Agora
, então
Simplificamos a raiz:
Substituindo,
Como
, temos
. Portanto a forma final e comum é
Explicação rápida do papel do valor absoluto: ele aparece quando extraímos
ao simplificar
. Isso garante o sinal correto para
positivo ou negativo.
Passo 4
Derivar o primeiro termo
.
- Aqui a função externa é
e a função interna é . - Pela regra da cadeia:
Usando a fórmula de
obtida no passo anterior com
, temos
E
.
Portanto
Portanto
Observação sobre domínio: essa expressão só vale onde
é definido e
, isto é, para
com
.
Passo 5
Derivar o segundo termo
.
- Use a regra da cadeia com a função externa
e a interna . - Pela regra da cadeia:
Substituindo a derivada de
do passo 3:
Lembrete de domínio: isso exige
e
para que o logaritmo esteja definido (na prática, para
a
é positiva e o termo é válido).
Passo 6
Somamos as derivadas dos dois termos para obter
. Assim,
Comentário sobre simplificações: se o domínio for restrito a
(caso comum em provas), então
e, se além disso
, então
; nestes casos a expressão pode ser sem valores absolutos:
Porém a forma correta e geral é a que usa os valores absolutos para cobrir os sinais.