Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\operatorname{tg}\left(e^{4 x-\cos x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{tg}\!\bigl(e^{4x-\cos x}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é uma composição: primeiro é calculada 4x-\cos x, depois a exponencial e^{(\cdot)} e por fim a tangente \operatorname{tg}(\cdot).
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Regra que vamos usar: regra da cadeia. Ela diz o seguinte para composições de funções.
Se F(x)=h(g(x)), então
F'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui cada peça tem um papel:
  • g(x) é a função interna (aquela que entra em h);
  • h(u) é a função externa, escrita em termos de uma variável genérica u;
  • h'\bigl(g(x)\bigr) significa derivar h em u e depois avaliar em u=g(x);
  • Multiplica-se pelo derivado da função interna g'(x).
    Exemplo rápido e concreto: se F(x)=\sin(x^2) então h(u)=\sin u, g(x)=x^2, e
F'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x.

Passo 3

Precisamos saber a derivada da tangente. A fórmula clássica é
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{tg} u\bigr)=\operatorname{sec}^{2}u,
onde \operatorname{sec} u=\dfrac{1}{\cos u}, logo \operatorname{sec}^{2}u=\dfrac{1}{\cos^{2}u}.
Breve justificativa (opcional, só para fixar): \operatorname{tg}u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Aplicando a regra do quociente e as derivadas de \sin e \cos obtém-se \operatorname{sec}^{2}u.

Passo 4

Identificamos as camadas da composição em f.
Defina
u(x)=e^{4x-\cos x}
e
v(x)=4x-\cos x,
de modo que u(x)=e^{v(x)} e f(x)=\operatorname{tg}\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia aplicada duas vezes, teremos
f'(x)=\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{tg}u\bigr)\Big|_{u=u(x)}\cdot u'(x).

Passo 5

Calcular v'(x). A função v é v(x)=4x-\cos x.
  • Derivada de 4x é 4.
  • Derivada de -\cos x: como \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, vem \dfrac{d}{dx}(-\cos x)= -(-\sin x)=\sin x.
    Portanto
v'(x)=4+\sin x.

Passo 6

Calcular u'(x) sabendo que u(x)=e^{v(x)}. Regra: a derivada de e^{v(x)} é e^{v(x)}\cdot v'(x). Assim
u'(x)=e^{v(x)}\cdot v'(x)=e^{4x-\cos x}\cdot\bigl(4+\sin x\bigr).

Passo 7

Agora aplicamos a derivada da tangente (Passo 3) e multiplicamos por u'(x) (Passo 6). Pela regra da cadeia,
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=e^{4x-\cos x} e u'(x) obtido,
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{4x-\cos x}\bigr)\cdot e^{4x-\cos x}\bigl(4+\sin x\bigr).
Se preferir escrever sem a função secante,
f'(x)=\frac{e^{4x-\cos x}\bigl(4+\sin x\bigr)}{\cos^{2}\!\bigl(e^{4x-\cos x}\bigr)}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{4x-\cos x}\bigr)\,e^{4x-\cos x}\bigl(4+\sin x\bigr).

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