Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\frac{2 x}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{2x}{x+3}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente, que diz que, para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
u(x)=2x \quad\text{e}\quad v(x)=x+3.
Calculamos suas derivadas:
u'(x)=2, \quad v'(x)=1.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{2\,(x+3)-2x\cdot1}{(x+3)^2} =\frac{2x+6-2x}{(x+3)^2} =\frac{6}{(x+3)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{6}{(x+3)^2}.

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