Calcule as derivadas das funções abaixo:
y=\left(x^{5}-4 x^{3}-7\right)^{-8}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \bigl(x^{5} - 4x^{3} - 7\bigr)^{-8}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivar uma potência de uma função composta.

Passo 2

Definimos a função interna
u = x^{5} - 4x^{3} -7,
para então calcular
\frac{du}{dx} = 5x^{4} - 12x^{2}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia à função externa u^{-8}:
\frac{dy}{dx} = -8\,u^{-9}\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituindo u e \tfrac{du}{dx} de volta, obtemos
\frac{dy}{dx} = -8\,\bigl(x^{5} - 4x^{3} - 7\bigr)^{-9}\,\bigl(5x^{4} - 12x^{2}\bigr).

Passo 5

Podemos ainda fatorar x^{2} em 5x^{4}-12x^{2}, ficando
\frac{dy}{dx} = -8\,x^{2}\,(5x^{2}-12)\,\bigl(x^{5} - 4x^{3} - 7\bigr)^{-9}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -8\,\bigl(x^{5} - 4x^{3} - 7\bigr)^{-9}\,\bigl(5x^{4} - 12x^{2}\bigr).

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