Calcule as derivadas das funções abaixo:
y=\sqrt{\frac{3 x+1}{2 x-1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sqrt{\frac{3x+1}{2x-1}}
Aqui vamos usar conteúdos de derivação: a regra da cadeia para a raiz e a regra do quociente para a função interna.

Passo 2

Escrevemos
y = \Bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac12} \quad\text{com}\quad u(x) = \frac{3x+1}{2x-1}.
Pela regra da cadeia,
y' = \frac12 \bigl(u(x)\bigr)^{-\tfrac12}\,u'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente:
u'(x) = \frac{(2x-1)\cdot 3 - (3x+1)\cdot 2}{(2x-1)^{2}} = \frac{6x-3 - (6x+2)}{(2x-1)^{2}} = \frac{-5}{(2x-1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo em y':
y' = \frac{-5}{(2x-1)^{2}}\;\frac{1}{2\sqrt{\frac{3x+1}{2x-1}}} = -\frac{5}{2\,(2x-1)^{2}\,\sqrt{\frac{3x+1}{2x-1}}}.

Resposta

y' = -\frac{5}{2\,(2x-1)^{2}\,\sqrt{\dfrac{3x+1}{2x-1}}}.

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