Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes que temos:
- A função é produto de duas funções:
e . - Atenção:
significa .
A partir daqui vamos derivar passo a passo, usando as regras necessárias.
Passo 2
Regra do produto (a ferramenta principal aqui). Se
, então
Isso significa que derivamos a primeira função mantendo a segunda, somamos com a primeira mantendo a segunda derivada. Vou aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Para obter
precisamos da regra da cadeia combinada com a regra da potência. Relembrando:
- Regra da potência: se
então . - Derivada do cosseno: se
então .
Quando combinamos, paraobtemos
E
Passo 4
Identifico a função interna
e calculo suas derivadas:
logo
Também a primeira função do produto:
Passo 5
Agora calculo
juntando tudo (aplicando a cadeia e a potência):
Posso reorganizar os sinais/fatores:
Passo 6
Aplico a regra do produto
. Substituindo
:
Isso dá
Passo 7
Fazendo uma fatoração útil (coloco em evidência
) para uma forma mais compacta:
Lembre que
, então podemos reescrever substituindo
.