Calcule as derivadas das funções:
y=x \cos ^{3}\left(x^{2}+7 x-3\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x\cos^{3}\bigl(x^{2}+7x-3\bigr)
e pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx}. Informações relevantes que temos:
  • A função é produto de duas funções: u(x)=x e v(x)=\cos^{3}\bigl(x^{2}+7x-3\bigr).
  • Atenção: \cos^{3}(\cdot) significa \bigl(\cos(\cdot)\bigr)^{3}.
    A partir daqui vamos derivar passo a passo, usando as regras necessárias.

Passo 2

Regra do produto (a ferramenta principal aqui). Se y = u(x)\,v(x), então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Isso significa que derivamos a primeira função mantendo a segunda, somamos com a primeira mantendo a segunda derivada. Vou aplicar essa fórmula com u(x)=x e v(x)=\cos^{3}(x^{2}+7x-3).

Passo 3

Para obter v'(x) precisamos da regra da cadeia combinada com a regra da potência. Relembrando:
  • Regra da potência: se w(t) = [g(t)]^{n} então w'(t) = n[g(t)]^{n-1} g'(t).
  • Derivada do cosseno: se h(t)=\cos(t) então h'(t) = -\sin(t).
    Quando combinamos, para v(x)=\bigl(\cos(u_{1}(x))\bigr)^{3} obtemos
v'(x) = 3\bigl(\cos(u_{1}(x))\bigr)^{2}\cdot\bigl(\cos(u_{1}(x))\bigr)'\!.
E
\bigl(\cos(u_{1}(x))\bigr)' = -\sin(u_{1}(x))\cdot u_{1}'(x).

Passo 4

Identifico a função interna u_{1}(x) e calculo suas derivadas:
u_{1}(x) = x^{2}+7x-3,
logo
u_{1}'(x) = 2x+7.
Também a primeira função do produto:
u(x)=x \quad\Rightarrow\quad u'(x)=1.

Passo 5

Agora calculo v'(x) juntando tudo (aplicando a cadeia e a potência):
v'(x) = 3\bigl(\cos(u_{1}(x))\bigr)^{2}\cdot\bigl(-\sin(u_{1}(x))\bigr)\cdot(2x+7).
Posso reorganizar os sinais/fatores:
v'(x) = -3(2x+7)\cos^{2}\bigl(u_{1}(x)\bigr)\sin\bigl(u_{1}(x)\bigr).

Passo 6

Aplico a regra do produto y' = u'v + u v'. Substituindo u',u,v,v':
y' = 1\cdot \cos^{3}\bigl(u_{1}(x)\bigr) + x\cdot\bigl(-3(2x+7)\cos^{2}\bigl(u_{1}(x)\bigr)\sin\bigl(u_{1}(x)\bigr)\bigr).
Isso dá
y' = \cos^{3}\bigl(u_{1}(x)\bigr) - 3x(2x+7)\cos^{2}\bigl(u_{1}(x)\bigr)\sin\bigl(u_{1}(x)\bigr).

Passo 7

Fazendo uma fatoração útil (coloco em evidência \cos^{2}(u_{1}(x))) para uma forma mais compacta:
y' = \cos^{2}\bigl(u_{1}(x)\bigr)\Bigl(\cos\bigl(u_{1}(x)\bigr) - 3x(2x+7)\sin\bigl(u_{1}(x)\bigr)\Bigr).
Lembre que u_{1}(x)=x^{2}+7x-3, então podemos reescrever substituindo u_{1}.

Resposta

y'=\cos^{2}\bigl(x^{2}+7x-3\bigr)\Bigl(\cos\bigl(x^{2}+7x-3\bigr)-3x(2x+7)\sin\bigl(x^{2}+7x-3\bigr)\Bigr)

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