Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas sucessivas de até a ordem
da função
.
Informações dadas: a função é e devemos obter
. Não há outras condições.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos lembrar a regra de derivação que vamos usar: para uma função da forma
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
Aqui
é qualquer função de
e
é sua derivada. A ideia é que a derivada de
é o próprio
multiplicado pela derivada do expoente.
Passo 3
Identificamos o expoente da exponencial:
. Calculamos sua derivada:
Portanto, aplicando a regra da cadeia à função dada, temos a primeira derivada:
Uma observação prática: como
, vemos que a exponencial mantém a forma e só aparece o fator
vindo do expoente.
Passo 4
Para a segunda derivada, derivamos
. O
é constante, então sai da derivada:
Repare o padrão: cada vez que derivamos, multiplicamos por
novamente, porque a derivada de
sempre traz um fator
.
Passo 5
Aplicando a mesma ideia para derivadas sucessivas, obtemos:
Podemos justificar por indução: se
então
. A base
(a própria função) é
, então vale para todo
.
Passo 6
Resumo dos resultados até a ordem
:
Observação final de ânimo: é sempre bom procurar esse tipo de padrão em prova — exponenciais com expoente linear sempre geram potências do coeficiente do
.