Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada.
y=e^{2 x+1}, \quad n=5

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas sucessivas de até a ordem n=5 da função y=e^{2x+1}.
Informações dadas: a função é y=e^{2x+1} e devemos obter y',y'',y''',y^{(4)},y^{(5)}. Não há outras condições.

Passo 2

Vamos lembrar a regra de derivação que vamos usar: para uma função da forma \exp(u(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui u(x) é qualquer função de x e u'(x) é sua derivada. A ideia é que a derivada de e^{u} é o próprio e^{u} multiplicado pela derivada do expoente.

Passo 3

Identificamos o expoente da exponencial: u(x)=2x+1. Calculamos sua derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x+1)=2.
Portanto, aplicando a regra da cadeia à função dada, temos a primeira derivada:
y' = \frac{d}{dx}\big(e^{2x+1}\big)=u'(x)\,e^{u(x)}=2\,e^{2x+1}.
Uma observação prática: como e^{2x+1}=e^{1}\,e^{2x}=e\cdot e^{2x}, vemos que a exponencial mantém a forma e só aparece o fator 2 vindo do expoente.

Passo 4

Para a segunda derivada, derivamos y'=2\,e^{2x+1}. O 2 é constante, então sai da derivada:
y''=2\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{2x+1}\big)=2\cdot(2\,e^{2x+1})=2^{2}\,e^{2x+1}.
Repare o padrão: cada vez que derivamos, multiplicamos por 2 novamente, porque a derivada de e^{2x+1} sempre traz um fator 2.

Passo 5

Aplicando a mesma ideia para derivadas sucessivas, obtemos:
y^{(3)}=\frac{d}{dx}\big(y''\big)=\frac{d}{dx}\big(2^{2}\,e^{2x+1}\big)=2^{2}\cdot(2\,e^{2x+1})=2^{3}\,e^{2x+1},
y^{(4)}=\frac{d}{dx}\big(y^{(3)}\big)=2^{3}\cdot(2\,e^{2x+1})=2^{4}\,e^{2x+1},
y^{(5)}=\frac{d}{dx}\big(y^{(4)}\big)=2^{4}\cdot(2\,e^{2x+1})=2^{5}\,e^{2x+1}.
Podemos justificar por indução: se y^{(k)}=2^{k}e^{2x+1} então y^{(k+1)}=2^{k}\cdot(2e^{2x+1})=2^{k+1}e^{2x+1}. A base k=0 (a própria função) é y=2^{0}e^{2x+1}, então vale para todo k\in\mathbb{N}.

Passo 6

Resumo dos resultados até a ordem 5:
y=e^{2x+1},
y'=2\,e^{2x+1},
y''=2^{2}\,e^{2x+1},
y^{(3)}=2^{3}\,e^{2x+1},
y^{(4)}=2^{4}\,e^{2x+1},
y^{(5)}=2^{5}\,e^{2x+1}.
Observação final de ânimo: é sempre bom procurar esse tipo de padrão em prova — exponenciais com expoente linear sempre geram potências do coeficiente do x.

Resposta

y=e^{2x+1}
y'=2\,e^{2x+1}
y''=2^{2}\,e^{2x+1}
y^{(3)}=2^{3}\,e^{2x+1}
y^{(4)}=2^{4}\,e^{2x+1}
y^{(5)}=2^{5}\,e^{2x+1}

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