Calcule as derivadas das funções dadas. (Sugestão: o uso da técnica de derivação logarítmica dada na página 201 do livro-texto é útil).
c) f(x)=x^1x;

Passo 1

A função é f(x)=x^{1/x}, que envolve variável tanto na base quanto no expoente. Esse tipo de função é mais fácil de derivar usando derivação logarítmica, pois o logaritmo transforma potências em produtos.

Passo 2

Definimos y=f(x)=x^{1/x} e aplicamos ln em ambos os lados para simplificar o expoente. Temos: ln y=1xln x
Agora diferenciamos em relação a x. Do lado esquerdo, d(ln y)/dx=y’/y. Do lado direito, vamos derivar ln xcdot x^-1 usando regra do quociente ou produto:

Passo 3

Calculamos dfracddxl(ln xcdot x^-1r)=dfrac1-ln xx^2. Logo,
y'y=1-ln xx^2implies y'=ycdot1-ln xx^2

Passo 4

Basta agora retornar y=x^{1/x} para obter f’(x).

Resposta

f'(x)=x^tfrac1x(1-ln x)x^2.

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