Calcule as derivadas das funções dadas. (Sugestão: o uso da técnica de derivação logarítmica dada na página 201 do livro-texto é útil).
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Passo 1
A função é f(x)=x^{1/x}, que envolve variável tanto na base quanto no expoente. Esse tipo de função é mais fácil de derivar usando derivação logarítmica, pois o logaritmo transforma potências em produtos.
Passo 2
Definimos y=f(x)=x^{1/x} e aplicamos ln em ambos os lados para simplificar o expoente. Temos:
Agora diferenciamos em relação a x. Do lado esquerdo, d(ln y)/dx=y’/y. Do lado direito, vamos derivar usando regra do quociente ou produto:
Agora diferenciamos em relação a x. Do lado esquerdo, d(ln y)/dx=y’/y. Do lado direito, vamos derivar
Passo 3
Calculamos
. Logo,
Passo 4
Basta agora retornar y=x^{1/x} para obter f’(x).